关于折线回归

一、说明

        今天的帖子主要是关于使用折线回归找到最佳值。即将某条曲线分解成包络线段，然后用分段回归方式优化。但它也涉及使用 SAS 和 R 的剂量反应研究和样条曲线。这不是第一篇关于这些主题的文章，但我确实想在其中添加折线。只是因为它还在使用。

二、药物剂量的应用

        寻找最佳值并不是什么新鲜事。为了找到最佳值，您通常会进行剂量反应研究。剂量反应研究旨在找出物质的数量或接触量之间的关系（剂量）及其对动物的总体影响（反应）。要有效地设计剂量反应研究，您需要了解生物系统并提出一个有针对性的问题：

1. 有剂量效应的生物学证据吗？
2. 最佳剂量是多少？
3. 需要什么剂量才能产生不同于对照/零反应的反应？
4. 剂量关系的本质是什么？

        不同的变量可以通过不同的方式建立不同的关系。下面是示例（最大值、最小值、山脊和鞍点）。这些内容之前已在此处进行了展示和解释。

剂量反应关系（顺时针）：最大、最小、鞍形和脊形。

        剂量反应最好以 3D 而不是 2D 方式探索，并且最好使用不同的视角来显示。正如您所看到的，两个或三个变量是可行的，但想象一下必须以图形方式表示 6 因素交互作用。如果没有某种形式的聚类，几乎不可能做到这一点。

响应面示例，在 SAS 中进行分析。

        每种剂量反应设计成功的关键是了解生物学。这听起来可能是一个悖论——如果您已经对剂量反应曲线有了很好的了解，为什么还要进行剂量反应设计呢？这是因为许多物质都遵循给定的化学式。因此，如果您已经了解了曲线，则可以最大化研究设计。这也带来了一个问题，因为方程的微小变化可能会导致剂量反应曲线的大幅波动。

        从 2D 到 3D。从剂量反应（左）到反应面（右）。响应面是一个山脊，这意味着我们无法看到整个关系，但它暗示着最小值。

有大量关于如何进行剂量反应研究的材料。

总之，如果您想找到最佳值，您需要以这样的方式设计和分析研究，以便您可以找到最佳值（如果它确实存在）。这意味着：

1. 了解所包含变量的生物学。
2. 了解他们是否以及如何相互作用。
3. 创造一个可以实现最佳效果的机会之窗。
4. 为一项研究提供动力，使机会之窗（如果它确实存在）变得可见。

三、样条曲线：别担心，我会保持简短

        这不会是我关于样条线的第一段文字，也不会是我的最后一段，但我将主要使用图形来保持简短。下面，您可以看到样条线基本上是如何由连接件组成的。该图还将帮助您理解什么是折线回归。这是一条分段线性线。

        样条曲线已经超越了许多形式的旧回归方法，例如折线或多项式回归，可以找到最佳值。这就是为什么我们在解决折线回归之前显示样条线的原因。虽然样条建模有更多的建模自由度，但它也有更多的自由度来创建一些非常奇怪的关系。

        以上三种回归形式：线性、样条、LOESS。执行样条或 LOESS 回归很容易，但过度拟合的危险是真实存在的。

        这里又举了两个例子，其中制作没有实际意义的曲线的危险是很容易完成的。请记住：我从一开始就说过，生物学、物理学、化学或任何潜在的因果机制都是至关重要的。并且优于无意识的统计拟合。

四、折线回归：以及为什么我们应该将其称为分段回归

折线回归有多个名称，其中包括：

1.分段回归

2.分段回归

3.断棍回归

4.曲棍球棒回归

也许，与其称之为折线，分段回归是一个更能说明问题的名称，因为它是该方法的核心。分段回归模型具有两个或多个子模型，每个子模型在解释变量的单独域上定义。最简单的分段回归模型假设：

1. 当 X 小于某一阈值时，响应由一个参数模型建模。
2. 当 X 大于阈值时，响应由一个参数模型建模。

阈值也称为断点、分割点、连接点或结点。

分段建模意味着分解数据。

        但是，正如我之前所说，还有更高级的数据建模方法。尽管如此，这不应消除使用折线回归或分段回归（或分段回归——无论你怎么称呼它）的需要。

        如今，建模变得相当容易。通过使用自动化，我们可以让算法找到最佳的切点。这种情况发生在各种回归中：多项式、分段、样条、LOESS、GAM 等。每次都会评估结果的可能性，直到找到最小值。

        但是，我们也可以手动完成。它所需要的只是了解底层数据，并寻找断点有意义的点。最后，断点是回归线最好采取不同路线以维持最小 RMSE 的点。

        您可以在下面看到，无论是在理论上还是在 SAS 中，如何使用不同的函数来拟合非线性曲线。折线是有道理的，但很多时候并不是最佳解决方案。

        正如您所看到的，折线模型包含这样的假设：末端部件遵循一条不同的路径到达末端。这就是为什么单个断点很少是不够的，并且需要添加更多断点。添加足够的量，最终会得到一条样条线。

综上所述，折线回归应该称为分段回归。分段回归只不过是：

1. 分解数据
2. 分别分析一下
3. 连接数据
4. 迭代该过程

记住！折线通常不能提供模型的最佳拟合。

五、SAS 和 SAS 中的折线回归R：为什么软件并不重要

数据并不总是适合任何形式的分段建模。明智地选择了模特。

尝试在此类数据上拟合折线是没有意义的。

        然而，这并不意味着不可能，正如您从下面的结果中看到的那样。不过，说实话，我宁愿符合大均值。

在SAS

        我们也可以在 R 中使用用于分析分段模型的包来执行相同的操作。

        在 R 中，您可以看到断点 (9.8) 和系数。

SAS 和 R 之间的结果比较。

正如您所看到的，数据来自随机块设计，因此我们可以添加随机组件 - 每个块 (ID) 一条折线。

每个 ID 的分段回归

        最后，我上面所做的大部分工作都是由 SAS 或 R 等程序自动完成的。请记住，简单的部分是建模，困难的部分是首先选择为什么要建模。如果一条断线真的有意义的话。

@marc.jacobs012