整数规划之分支定界法

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整数规划问题和一般的线性规划问题很类似，唯一的不同点在于可行解必须是整数。这是因为对于某些实际问题，必须要求全部解或者至少部分解为整数。比如，所求的解是人数，机器台数或工厂个数等。

整数规划问题一般被分成如下四个子问题：

1.分支定界法
2.割平面法
3.0—1规划及隐枚举法
4.指派问题

这篇文章先讲一下分支定界法。分支定界法是用于求解整数规划问题的，但由于其复杂性太大所以一般用计算机进行计算，因此若为了应付考试只需要了解即可，不必进行大量练习。

分支定界法的核心思想就是分枝和剪枝。当我们不考虑所求解必须是整数这个条件时，用单纯形法可求出最优解，但是这个解往往不全是整数，因此我们采用剪枝的方式一点一点缩小范围，直到所求解为整数解。

剪枝：如果某一个子问题无可行解或者最优值小于原来的下界，则称这个分支已经查清，将该支剪掉，不再计算。

下面我们直接进行实战，在解题过程中会有详细的讲解。

我们以下图A为例

暂时不考虑解为整数的条件（图B），因为我们是在小数解上不断进行改良才能最终能够得到整数解。

通过单纯形法可以得到图B的最优解为（单纯形法在这里不是重点，所以不详细计算）：
x₁=2.25，x₂=3.75，S₀=41.25

因此A式的解上界为41.25，这是因为A式的解必定为B式解的子解。

因为x₁和x₂都为小数，因此我们可以任选一个进行分支，也就是运用解必须是整数这一条件加以约束。这里选用x₂进行分支，即分别添加x₂<=3和x₂>=4，这是因为不确定整数解到底在那个方向能取到最优值，因此需要考虑两种情况。因此有如下两式：

分别对两式用单纯形法进行求解得：

B₁：x₁=3，x₂=3且S₁=39
B₂：x₁=1.8，x₂=4且S₂=41

可以看到，B₁式的解为39，并且可行解为整数解，所以最差最差也是39了，因此原式的下界暂时为39，而41<41.25作为原式的新上界。

但是B₂的解中仍然有小数，所以不能确定最终解是否是39，所以我们要继续对B₂中的x₂进行分支，即x₂<=1和x₂>=2。将其代入式子条件中进一步进行求解，这里要特别注意不要忘记将之前分支的条件也加进来，如下式，仍然要加入x₂>=4这一前提条件：

仍然对其使用单纯形法求解(这里已经可以看出分支定界法是多么的麻烦了，单纯形法已经用了太多次了)，得出如下解：

B₃：x₁=1，x₂= ⁴⁰⁄₉，S₃=³⁶⁵⁄₉

B₄：无可行解

因为B₃的解中仍然有分数，所以不能作为新的下界，但由于³⁶⁵⁄₉ < 41所以可以将其作为新的上界。

然后按照之前的方法依旧将x₂进行分支并带入原式中得，并且得出如下解：

可以看出两个解都是整数可行解，对比之前的下界39和上界³⁶⁵⁄₉，发现都满足条件，因此可以得出最优解为40。