数学基本思想

到底什么是数学基本思想，东北师范大学校长史宁中有较为通俗而明确的阐述。

他认为，在数学教学中，通常说的等量替换、数形结合、递归法、换元法等，可以称为数学思想方法，但不是数学基本思想。

因为在述说这些概念的时候，必然要依附于某些具体的数学内容，因此这些概念在本质上是个案而不是一般。此外，这些概念也不是最基本的，比如关于等量替换，人们可以进一步追问：为什么可以在计算的过程中进行等量替换呢？这就意味着，作为一种方法，等量替换可以用其他的更为基本的原理推演出来。为此，需要建立判断数学基本思想的原则。

我们建立两个原则：

第一个原则，数学产生和发展所必须依赖的那些思想。

第二个原则，学习过数学的人应当具有的基本思维特征。

根据这两个原则，把数学基本思想归结为三个核心要素：抽象、推理、模型。这三者对于数学的作用以及相互之间的关系大体是这样的：

通过抽象，人们把现实世界中与数学有关的东西抽象到数学内部，形成数学的研究对象，思维特征是抽象能力强；

通过推理，人们从数学的研究对象出发，在一些假设条件下，有逻辑地得到研究对象的性质以及描述研究对象之间关系的命题和计算结果，促进数学内部的发展，思维特征是逻辑推理能力强；

通过模型，人们用数学所创造的语言、符号和方法，描述现实世界中的故事，构建了数学与现实世界的桥梁，思维特征是表述事物规律的能力强。

当然，针对具体的数学内容，不可能把三者截然分开，特别是不能把抽象与推理、抽象与模型截然分开。

在推理的过程中，往往需要从已有的数学知识出发，抽象出那些并不是直接来源于现实世界的概念和运算法则；

在构建模型的过程中，往往需要在错综复杂的现实背景中抽象出最为本质的关系，并且用数学的语言予以表达。

反之，抽象的过程往往需要借助逻辑推理；通过推理判断概念之间的关系，判断什么是命题的独立性，什么是命题的相容性，最终抽象出公理体系；

在众多个案的运算过程中发现规律，通过推理验证什么是最本质的规律，最终用抽象的符号表达一般性的运算法则。因此，在数学研究和学习的过程中，抽象、推理、模型这三者之间常常是你中有我，我中有你。