微分方程算子法（计算特解的利器）

微分方程

需要学会求解的类型

1. 直接套公式法的一阶非齐次线性微分方程

2. 特解十分难算的高阶常系数线性微分方程

3. 可化简的其它类型

基础概念

齐次方程和非齐次方程

$a_1\ast y^{(n)}+a_2\ast y^{(n-1)}+...+a_{n-1}\ast y^{\prime }+a_n\ast y=0$，相当于线性代数里面的$AX=0$。

其中，$A_n=(a_1,a_2，\cdots ，a_n)$，$X=(y^{(n)},y^{(n-1)},\cdots ,y{)}^T$。

微分方程是解出 $X$，但由于通过 $y$ 可以求出对应的 $y^{\prime },y^{\prime \prime },...,y^{(n)}$，故解微分方程的目的就是解出 $y$ 的表达式

$a_1\ast y^{(n)}+a_2\ast y^{(n-1)}+...+a_{n-1}\ast y^{\prime }+a_n\ast y=f_1(x)+f_2(x)+...+f_m(x)$ 相当于线性代数里面的$AX=\beta$，其中$\beta =g(x)=f_1(x)+...+f_m(x)$

通解、特解、全部解

• 特解：符合方程等式成立的任意一个解
• 通解：符合方程等式成立的一组解
• 全部解：任何一个使方程等式成立的解构成的集合
• 奇解：在方程的等式变形过程中可能会将 y 放到分母位置上，从而导致丢掉部分解，丢掉的这部分解称为奇解。全部解 = 奇解 + 通解，所以不用纠结求解通解的时候会丢掉解的问题，放心大胆的变换。

线性和非线性

线性方程：例如从小学开始学习的$3x+1=4$和线性方程组$\{\begin{array}{ll}3x+5y& =1\\ 7x-2y& =2\end{array}$
非线性方程：高中解的最多的$x^2+2x+1=0$或解析几何中的熟悉的联立$\{\begin{array}{ll}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}& =1\\ x-2y& =2\end{array}$

线性方程是指待求解的变量的最高幂次$\le$ 1的方程，而非线性方程中待求解变量的最高幂次$>$ 1。

所谓待求解的变量和自己的选择有关，例如$y^{\prime }+x^2\ast y=x$这里选择求解$y$，那$x^2$作为系数，对于$y$而言的所有变量的幂次都没有超过1，所以是线性方程。

一般情况下非线性方程不可解，考察的都是线性方程

小结

• 齐次和非齐次是和其它概念（线性、非线性）可以并存的，例如 $y^{\prime }+p(x)\ast y=q(x)$ 为一阶线性非齐次微分方程，使用朴实无华的公式法即可解决。而$y^{\prime }+p(x)\ast y=0$ 为一阶线性齐次方程，也就是可分离变量类型的微分方程。
• 齐次方程的通解 = $k$ $\times$ 齐次方程的非零特解，证明如下：
  1. 若 $X_1^{\ast }$ 是齐次方程 $A_{1}X=0$ 的一个特解，且 $X_1^{\ast }\ne 0$，则满足 $A_1{X}_1^{\ast }=0$
  2. 由于$A_1(k{X}_1^{\ast })=k{A}_1{X}_1^{\ast }=k\times 0=0$，故 $k{X}_1^{\ast }$ 仍然为 $A_{1}X=0$ 的解
• 非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解，证明如下：

1. 若 $Y_2^{\ast }$ 是非齐次方程 $A_{2}Y=\beta$ 的一个特解 ，则满足 $A_2{Y}_2^{\ast }=\beta$，
2. 与之对应的齐次方程 $A_{2}Y=0$ 的通解 $Y_1=k_1{X}_1^{\ast }+k_2{X}_2^{\ast }+...+k_n{X}_n^{\ast }$
3. 因为 $A_2(Y_1+Y_2^{\ast })=A_2{Y}_1+A_2{Y}_2^{\ast }=0+\beta =\beta$，所以 $Y_1+Y_2^{\ast }$ 为非齐次方程的通解

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微分方程解法总结

• 一阶微分方程：公式法或左右两边同乘$e^{p(x)}$

• 化简方法：换元法和xy位置互换

  xy位置互换个人认为不属于一种具体的方法，而是一种思想，要注意可能会和换元法结合使用

• 高阶常系数线性微分方程：解多项式（求齐次通解） + 算子法（求非齐次特解）

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换元法

• $u=\frac{y}{x}\to y=ux\to dy=u\ast dx+x\ast du$
• $u=ax+by+c\to du=a\ast dx+b\ast dy$
• $u=y^{\prime }\to y^{\prime \prime }=\frac{d{y}^{\prime }}{dx}=\frac{du}{dx}=\{\begin{array}{ll}{u}^{\prime }& ,缺y可化简型;\\ \frac{du}{dy}\ast \frac{dy}{dx}=\frac{du}{dy}\ast u& ,缺x可化简型;\end{array}$
• $u=y^{1-n}或\frac{1}{y^{n-1}}\to du=\frac{1}{1-n}\ast y^{-n}伯努利方程$
• $u==\{\begin{array}{ll}Inx& ，x>0\\ In(-x)& ，x<0\end{array}欧拉方程$

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算子法

算子法的作用是求高阶非齐次线性微分方程的特解，即 $y^{\ast }$。

首先约定两个符号： $D$（求导）和 $\frac{1}{D}$（积分）

此外 $(D+1)y$ 表示 $Dy+y$ ，即 $y^{\prime }+y$，而 $\frac{1}{D+1}y$ 没有特别含义

计算特解的5种类型

1. 指数函数$f(x)=e^{kx}$
2. 三角函数$f(x)=sin(ax)$
3. 多项式$P_n(x)=x^n+x^{n-1}+...+x$
4. 指数函数 * 三角函数$f(x)=e^{kx}\ast sin(ax)$ 和指数函数 * 多项式$f(x)=e^{kx}\ast P_n(x)$
5. 三角函数 * 多项式$f(x)=sin(ax)\ast P_n(x)$

类型1：$f(x)=e^{kx}$

解决策略

1. 将高阶导$y^{(n)}$写成$D^n$，解出$y^{\ast }=\frac{1}{F(D)}f(x)$
2. 令$D=k$，
3. 如果不能令$D=k$，向前提取$x$后，对$D$求导后再令

例题1

$y^{\prime \prime }-4y^{\prime }+3y=2e^{(2x)}$

解析：

$D^{2}y-4Dy+3y=2e^{(2x)}$

$y^{\ast }=\frac{1}{(D^2-4D+3)}2e^{(2x)}(y^{\ast }只是表示特解)$

$常数可以直接提前，即y^{\ast }=2\frac{1}{(D^2-4D+3)}{e}^{(2x)}$

令$D=k=2，y^{\ast }=2\ast \frac{1}{2^2-4\ast 2+3}{e}^{(2x)}=-2e^{(2x)}$

例题2

$y^{\prime \prime }+2y^{\prime }-3y=e^{(-3x)}$

解析：

$D^{2}y+2Dy-3y=e^{(-3x)}$

$y^{\ast }=\frac{1}{(D^2+2D-3)}{e}^{(-3x)}$

令$D=k=-3，此时y^{\ast }=\frac{1}{9-6-3}{e}^{(-3x)},此时分母为0，即不可令D=k$

所以此时 $y^{\ast }=\frac{1}{(D^2+2D-3)}{e}^{(-3x)}\stackrel{对F(D)求导}{}x\frac{1}{2D+2}{e}^{(-3x)}=x\frac{1}{-4}{e}^{(-3x)}=-\frac{1}{4}x{e}^{(-3x)}$

类型2：$f(x)=sin(ax)或cos(ax)$

解决策略

1. 能令$D^2=-a^2$则先令
2. 没有$D^2$,则分子分母同乘多项式凑出$D^2$后再令
3. 有$D^2$但是不能令，也就是令完之后分母为0，一样提取$x$后求导再尝试

例题3

$y^{\prime \prime }-y=sinx$

解析：
$y^{\ast }=\frac{1}{D^2-1}sinx=\frac{1}{(-1)-1}sinx=-\frac{1}{2}sinx$

例题4

$y^{\prime \prime }+4y=cos(2x)$

解析：

因为$y^{\ast }=\frac{1}{D^2+4}cos(2x)=\frac{1}{(-4)+4}cos(2x)$

$所以y^{\ast }=x\frac{1}{2D}cos(2x)\stackrel{常数可提取}{}\frac{x}{2}\frac{1}{D}cos(2x)\stackrel{\frac{1}{D}f(x)表示对f(x)进行积分}{}\frac{x\ast sin(2x)}{4}$

例题5

$y^{\prime \prime }-6y^{\prime }+9y=cosx$

解析:

$y^{\ast }=\frac{1}{D^2-6D+9}cosx\stackrel{能令则令}{}\frac{1}{8-6D}cosx\stackrel{没有要凑，同乘多项式通分}{}\frac{8+6D}{64-36D^2}cosx\stackrel{能令则令}{}\frac{1}{100}(8+6D)cosx$

$\stackrel{多项式乘法,Df(x)表示求导}{}\frac{1}{100}(8\ast cosx-6sinx)$

类型3：$f(x)=P_n(x)多项式$

解决策略

使用无穷级数$\frac{1}{1-q}=1+q+q^2+...+q^n$，展开到需要的阶数即可

例题6

$y^{\prime \prime }+y=-2x$

解析:

$y^{\ast }=\frac{1}{D^2+1}(-2x)\stackrel{令q=-D^2}{}(1-D^2+...)(-2x)=-2x这里的多项式为1阶，实际上只需要展开到D即可,因为D^{2}x=0$

例题7

$y^{\prime \prime }+y^{\prime }=x^2$

解析:

$y^{\ast }=\frac{1}{D^2+D}{x}^2$

$此时分母中并没有1,所以缺啥补啥,用求极限常见的思路f(x)=f(x)+1-1$

$得到y^{\ast }=\frac{1}{1-(1-D^2-D)}{x}^2=[1+(1-D^2-D)+(1-D^2-D{)}^2+...+(1-D^2-D{)}^n]x^2$

$可以看到即使对于(1-D^2-D{)}^n项，展开之后仍然可以找到1+k_{1}D+k_2{D}^2,因此不能这么展开,否则无法终止$

$另外一种凑1的方法就是因式分解\frac{1}{D^2+D}{x}^2=\frac{1}{D(D+1)}{x}^2=\frac{1}{D}\ast \frac{1}{D+1}{x}^2$

$之后再处理\frac{1}{D+1}{x}^2=(1-D+D^2)x^2=x^2-2x+2，最后处理\frac{1}{D}(x^2-2x+2)=\frac{1}{3}{x}^3-x^2+2x$

类型4：$f(x)=e^{kx}\ast g(x)$

解决策略

移位公式：$\frac{1}{F(D)}{e}^{kx}g(x)=e^{kx}\frac{1}{F(D+k)}g(x)$

之后按照 $g(x)$ 的类型进行求解即可，属于类型 2 和类型 3 里面重复的内容

类型5：$f(x)=P_n(x)\ast sin(ax)或P_n(x)\ast cos(ax)$

解决策略

欧拉公式：$e^{ix}=cosx+i\ast sinx$

$\frac{1}{F(D)}[P_n(x)sin(ax)]=Im\{\frac{1}{F(D)}[e^{(i\ast ax)}\ast P_n(x)]\}$

$\frac{1}{F(D)}[e^{(i\ast ax)}\ast P_n(x)\stackrel{移位公式}{}{e}^{(i\ast ax)}\frac{1}{F(D+i\ast ax)}{P}_n(x),同上$

$Im\{\}$ 表示对计算结果取虚部，如果是计算 cos(ax)，那么就对最终结果取实部。