现代计算机图形学-L2 ——线性代数

一、图形学依赖学科

二、 线性代数

1 向量 vectors

1. 如图向量AB表示A指向B的方向，B的坐标减去A的坐标得到向量AB
2. 向量表示方向和长度
3. 向量没有绝对的开始位置，无论如何移动，仍然是同一个向量。

单位向量

• 向量的长度

  
  

• 单位向量

  
  
• 单位向量是一个和原始向量同方向但长度为1的向量。
• 图形学中我们谈起向量更多的认为其是单位向量，我们只关心方向而不关心长度。

1.2向量的基本操作

加法

• 几何表示：平行四边形与三角形法则
• 代数表示：坐标相加
  

点乘 Dot product

点乘的结果是一个数

• 定义：两个向量的点乘等于两个向量长度乘积，再乘以两个向量的夹角余弦

  • 直角坐标系下，运算更加简单，坐标分别乘积后相加：
    

• 性质：满足交换律、结合律、分配律

  
  

• 作用：

  1. 常常用来求两个向量的夹角，尤其当两个向量为单位向量时，分母自然为1，只需要求两向量的点乘即可。

  2. 求一个向量到另一个向量的投影
     

     
     

     算出投影后，可以将向量沿两个方向分解(三角形或平行四边形法则)

     
     

• 点乘在图形学中的应用

  
  

1. 计算两个向量有多接近，计算出两个向量点乘的结果根据结果判断距离近与远。
   • a与b点乘结果接近1。
   • b继续旋转到虚线上，点乘结果0
   • b继续旋转与b相反方向，点乘结果-1
   • 图形学应用：当光打到物体表面时，镜面反射定律：观测角度与镜面反射角度不同，金属高光计算
2. 两个向量前与后的关系
   • 当a和b同在虚线上半部分时，点乘的结果是正数，说明方向基本同向。
   • 当a和c分别在虚线两部分时，点乘的结果是负数，说明方向基本相反。
   • 当点乘结果为0时，则终点代表在虚线上。

叉乘

1、定义：输入两个向量a、b，输出向量c，要求c与a、b垂直，c的方向遵循右手螺旋定则（a旋转到b），c的大小如图。向量叉积不满足交换律。

作用：建立三维空间的直角坐标系

2、 性质
不满足交换律，满足分配律和结合律

向量a叉乘自己，得到的是长度为0的向量，结果为一个向量

3、代数表示

后续课程还将介绍矩阵表示方式：

4、作用

• 判断左右

  
  
  • bxa，得到的结果z为负数，则b在a的左边
  • axb，得到的结果z为整数，则a在b的右边

• 判断内外

  
  

  • 判断P在三角形的内部还是外部？

  • 1、AB X AP，得到的结果向屏幕外，z>0——>P在B的左侧

  • 2、BC X BP，得到的结果向屏幕外，z>0——>P在C的左侧

  • 3、CA X CP,，得到的结果向屏幕外，z>0——>P在A的左侧

  • 都在左侧，因此P点在三角形内部

  • 总结：对于任何绕向的三角形，P都在左边或者都在右边，则P在三角形内部
    图形学应用：光栅化基础，判断三角形覆盖了哪些像素——>判断像素是否在三角形内部，

3.正交坐标系

矩阵

定义：

矩阵就是一堆数，按照如图结构排列，如图3x2（三行两列）

矩阵相乘

MXN 与NXP矩阵才能相乘（N相同，即第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数），从而得到一个 M X P 的矩阵

结果矩阵中的每个元素如何求？

• 总结：想要算第m行第n列，就去第一个矩阵找m行，第二个矩阵找n列，然后进行点乘。
• 例子：以第1行第4列的13为例，从第一个矩阵中找第1行（1，3），第二个矩阵中找第4列（4，3），进行点乘，1 * 4 + 3 * 3 = 13

矩阵乘积的性质

• 不满足交换律
• 满足结合律，可应用于多矩阵变换精简计算与存储。

• 满足分配律

  
  

矩阵与向量相乘

变换（Transform）的关键

• 通常向量作为列向量（M X 1的矩阵）
• 矩阵放在左边（*xM），列向量（M X 1）放在右边进行相乘。

• example

  
  

矩阵转置

定义：行列互换

性质：

单位矩阵

• 单位矩阵：对角阵，基本不做任何操作。

• 逆矩阵：如果两个矩阵相乘的结果为单位矩阵，那么这两个矩阵互逆。

  
  

• 性质（与矩阵的转置类似）

  
  

向量乘积的矩阵形式

• 向量点乘

  
  
• 向量叉乘

小结：

本节课程主要是对线性代数进行重温，介绍了

1. 向量定义，向量的加法、叉乘、点乘、叉乘与点乘在图形学中的应用。点乘可应用于计算夹角与投影，叉乘可应用于判断点是否在三角形内部、向量的左右关系以及构建正交坐标系，
2. 矩阵相乘、矩阵与向量相乘，矩阵的转置、矩阵的逆、单位矩阵，这是应用学习变换（Transform）的前奏，后续将引入齐次坐标。

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