正项级数比较审敛法@衍生方法@极限审敛法

依赖已知敛散性级数的正项级数审敛法

• 这部分讨论的级数都是正项级数
• 以下审敛法都只对正项级数适用,因此交错级数不适用

比较判别法

朴素比较法

• 此方法是最原始的比较判别法,其具有衍生形式,一般会更方便

• 对于2个正项级数级数:$S(u)$=$\sum _{i=1}^{\infty }{u}_n$,$S(v)$=$\sum _{i=1}^{\infty }{v}_n$

  • 如果有:$0⩽u_n⩽v_n$
    • $S(u)$发散$\Rightarrow S(v)$发撒
    • $S(v)$收敛$\Rightarrow S(u)$收敛

• 比较判别法就是利用已知级数的敛散性来判断未知(但是有一定关系)级数的敛散性

• 知道的已知模型越多,比较判别法越管用

极限形式

• 对于2个正项级数级数:$S(u)$=$\sum _{i=1}^{\infty }{u}_n$,$S(v)$=$\sum _{i=1}^{\infty }{v}_n$
• 若:$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_n}{v_n}=\lambda$(1)
  1. $0<\lambda <\infty$,$S(u)$与$S(v)$有相同的敛散性
  2. $\lambda =0,S(v)$收敛$\Rightarrow S(u)$收敛(分母跑的快都会收敛,则跑得慢的分子也收敛)
  3. $\lambda =+\infty ,S(v)$发散$\Rightarrow S(u)$发散(分母跑的慢都会分母发散,则跑得快的分子也发散)

证明

• 由条件(1)和极限定义可知,$\forall ϵ>0$,$\exists N\in {\mathbb{N}}_{+}$,s.t.当$n>N$时有$|\frac{u_n}{v_n}-\lambda |<ϵ$或$\lambda -ϵ<\frac{u_n}{v_n}<\lambda +ϵ$(2)
• 结论1

  • 无妨取$ϵ=\frac{1}{2}\lambda$,则式(2)变为$\frac{1}{2}\lambda <\frac{u_n}{v_n}<\frac{3}{2}\lambda$(3),进一步变形为$\frac{1}{2}\lambda v_n<u_n<\frac{3}{2}\lambda v_n$(4)

  • 当$\lambda \in (0,+\infty )$时,根据比较审敛法,$S(u)={\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$,$S(v)={\sum }_{n=1}^{\infty }{v}_n$有相同的敛散性

    • 若$S(v)$收敛,则由$u_n<\frac{3}{2}\lambda v_n$(4-1)可知,$S(u)$也收敛
    • 若$S(v)$发散,则由$\lambda v_n<u_n$(4-2)可知,$S(u)$也发散
    • 若$S(u)$收敛,则由(4-2)可知$S(v)$也收敛
    • 若$S(u)$发散,则由(4-1)可知,$S(v)$也发散

  • 综上,$\lambda \in (0,+\infty )$时$S(u)$,$S(v)$有相同的敛散性

• 结论2
  • $\lambda =0$,取$ϵ=1$,代入(2),得$|\frac{u_n}{v_n}|<1$,又正项级数$u_n,v_n>0$,即$u_n<v_n$
  • 由比较审敛法,$S(v)$收敛,就有$S(u)$收敛
• 结论3:
  • 由无穷大和无穷小的关系:$\lambda =+\infty$可推出$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{v_n}{u_n}=0$(5)
  • 若级数$S(u)$收敛,由结论(2),知$S(v)$收敛(6)
  • 命题(6)是真命题,并由其逆否命题可知,若$S(v)$发散,$S(u)$必发散
• 小结:
  • 注意分母$S(v)$
  • 用特殊函数带入可以帮助理解记忆:$\frac{1}{x},\frac{1}{X^2}$

极限审敛法

• 这是极限形式的比较审敛法的推论(特例),可以不用记忆
• 将正项级数和$p$级数作比较,可以得到实用上比较方便的极限审敛法
• 设$S(u)$=${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$是正项级数
  1. 若$\underset{n\to \infty }{\lim }n{u}_n=l>0$(包含$l\to \infty$的情形),则级数$S(u)$发散
  2. 对于$p>1$,若$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^p{u}_n=l$,$(l\in [0,+\infty ))$,则级数$S(u)$收敛
• 这类方法适合在被判断级数的通项因子存在已知等价无穷小的情形,此时通过替换等价无穷小简化计算

证明

• 在极限形式的比较审敛法中,
  1. 取$v_n=\frac{1}{n}$;则由调和级数${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}$发散,可知结论1成立
  2. 取$v_n=\frac{1}{n^p}$,当$p>1$时,$p$级数${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}$收敛,可知结论2成立

应用

• 对于所给的级数,观察其是否形似或接近两个重要模型,通过放缩和比较法,判断所给级数的敛散性

朴素比较法实例

• ${\sum }_{n=2}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{n(n^2+1)}}$
  • 分析通项的分母,是一个对三次多项式开根号的式子,其量级相当于$x^{3/2}$,$\frac{3}{2}>1$,推测其收敛
    • 这类推测是考虑放缩所进行的
  • 因此考虑对其放大说明收敛
  • $\frac{1}{\sqrt{n(n^2+1)}}⩽\frac{1}{\sqrt{n\cdot n^2}}$=$\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}$,根据$p$级数的结论,给级数是收敛的
• ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}$
  • 同样考虑到分母的量级是$n^{2/2}=n$,推测其发散,用比较法就要缩小,例如将通项缩小为$\frac{1}{n+1}$,缩小后的发散,缩小前也发散,所以本级数发散

极限形式比较法求解

• 上面两个例子使用极限法更加简单
• 例如,$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1/\sqrt{n(n^2+1)}}{1/n^{3/2}}$=$1$,可以见,原级数和$p=\frac{3}{2}$级数同敛散性,而后者是收敛的,因此前者也是收敛的
  • 这里我们就不需要了放缩步骤

极限审敛法例

• 判定级数${\sum }_{n=1}^{\infty }\ln (1+\frac{1}{n^2})$的收敛性

  • 解:考虑到$\ln (1+\frac{1}{n^2})\sim \frac{1}{n^2}$,$(n\to \infty )$
  • $\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2\ln (1+\frac{1}{n^2})$=$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2\cdot \frac{1}{n^2}$=$1$,因此由极限审敛法,级数收敛

• 判定${\sum }_{n=1}^{\infty }\sqrt{n+1}(1-\cos \frac{\pi }{n})$的收敛性

  • 令$u_n$=$\sqrt{n+1}(1-\cos \frac{\pi }{n})$
  • 考虑到$(1-\cos \frac{\pi }{n})\sim \frac{1}{2}(\frac{\pi }{n}{)}^2$
  • $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n$=$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{n+1}\frac{1}{2}{\pi }^2{n}^{-2}$=$\frac{1}{2}{\pi }^2\underset{n\to \infty }{\lim }(n+1{)}^{\frac{1}{2}}{n}^{-2}$
  • 而$v_n$=$(n+1{)}^{\frac{1}{2}}{n}^{-2}$是$n^{-\frac{3}{2}}$的量级,因此考虑$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^{\frac{3}{2}}\cdot u_n$=$\frac{1}{2}{\pi }^2\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^{\frac{3}{2}}(n+1{)}^{\frac{1}{2}}{n}^{-2}$=$\frac{1}{2}{\pi }^2\underset{n\to \infty }{\lim }(\frac{n+1}{n}{)}^{\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{2}{\pi }^2$
  • 因此,由于极限审敛法,级数收敛