正项级数比较审敛法@衍生方法@极限审敛法
文章目录
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- 依赖已知敛散性级数的正项级数审敛法
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- 比较判别法
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- 朴素比较法
- 极限形式
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- 证明
- 极限审敛法
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- 证明
- 应用
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- 朴素比较法实例
- 极限形式比较法求解
- 极限审敛法例
依赖已知敛散性级数的正项级数审敛法
- 这部分讨论的级数都是正项级数
- 以下审敛法都只对正项级数适用,因此交错级数不适用
比较判别法
朴素比较法
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此方法是最原始的比较判别法,其具有衍生形式,一般会更方便
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对于2个正项级数级数: S ( u ) S(u) S(u)= ∑ i = 1 ∞ u n \sum\limits_{i=1}^{\infin}u_n i=1∑∞un, S ( v ) S(v) S(v)= ∑ i = 1 ∞ v n \sum\limits_{i=1}^{\infin}v_n i=1∑∞vn
- 如果有: 0 ⩽ u n ⩽ v n 0\leqslant{u_n}\leqslant{v_n} 0⩽un⩽vn
- S ( u ) S(u) S(u)发散 ⇒ S ( v ) \Rightarrow{S(v)} ⇒S(v)发撒
- S ( v ) S(v) S(v)收敛 ⇒ S ( u ) \Rightarrow{S(u)} ⇒S(u)收敛
- 如果有: 0 ⩽ u n ⩽ v n 0\leqslant{u_n}\leqslant{v_n} 0⩽un⩽vn
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比较判别法就是利用已知级数的敛散性来判断未知(但是有一定关系)级数的敛散性
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知道的已知模型越多,比较判别法越管用
极限形式
- 对于2个正项级数级数: S ( u ) S(u) S(u)= ∑ i = 1 ∞ u n \sum\limits_{i=1}^{\infin}u_n i=1∑∞un, S ( v ) S(v) S(v)= ∑ i = 1 ∞ v n \sum\limits_{i=1}^{\infin}v_n i=1∑∞vn
- 若: lim n → ∞ u n v n = λ \lim\limits_{n\to{\infin}}\frac{u_n}{v_n}=\lambda n→∞limvnun=λ
(1)- 0 < λ < ∞ 0<\lambda<\infin 0<λ<∞, S ( u ) S(u) S(u)与 S ( v ) S(v) S(v)有相同的敛散性
- λ = 0 , S ( v ) \lambda=0,S(v) λ=0,S(v)收敛 ⇒ S ( u ) \Rightarrow S(u) ⇒S(u)收敛(分母跑的快都会收敛,则跑得慢的分子也收敛)
- λ = + ∞ , S ( v ) \lambda=+\infin,S(v) λ=+∞,S(v)发散 ⇒ S ( u ) \Rightarrow S(u) ⇒S(u)发散(分母跑的慢都会分母发散,则跑得快的分子也发散)
证明
- 由条件(1)和极限定义可知, ∀ ϵ > 0 \forall{\epsilon>0} ∀ϵ>0, ∃ N ∈ N + \exist{N\in\mathbb{N}_{+}} ∃N∈N+,s.t.当 n > N n>N n>N时有 ∣ u n v n − λ ∣ < ϵ |\frac{u_n}{v_n}-\lambda|<\epsilon ∣vnun−λ∣<ϵ或 λ − ϵ < u n v n < λ + ϵ \lambda-\epsilon<\frac{u_{n}}{v_{n}}<\lambda+\epsilon λ−ϵ<vnun<λ+ϵ
(2) - 结论1
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无妨取 ϵ = 1 2 λ \epsilon=\frac{1}{2}\lambda ϵ=21λ,则式(2)变为 1 2 λ < u n v n < 3 2 λ \frac{1}{2}\lambda<\frac{u_n}{v_n}<\frac{3}{2}\lambda 21λ<vnun<23λ
(3),进一步变形为 1 2 λ v n < u n < 3 2 λ v n \frac{1}{2}\lambda{v_{n}}<{u_n}<\frac{3}{2}\lambda{v_n} 21λvn<un<23λvn(4) -
当 λ ∈ ( 0 , + ∞ ) \lambda\in(0,+\infin) λ∈(0,+∞)时,根据比较审敛法, S ( u ) = ∑ n = 1 ∞ u n S(u)=\sum_{n=1}^{\infin}u_{n} S(u)=∑n=1∞un, S ( v ) = ∑ n = 1 ∞ v n S(v)=\sum_{n=1}^{\infin}v_{n} S(v)=∑n=1∞vn有相同的敛散性
- 若 S ( v ) S(v) S(v)收敛,则由 u n < 3 2 λ v n {u_n}<\frac{3}{2}\lambda{v_n} un<23λvn
(4-1)可知, S ( u ) S(u) S(u)也收敛 - 若 S ( v ) S(v) S(v)发散,则由 λ v n < u n \lambda{v_{n}}
λvn<un (4-2)可知, S ( u ) S(u) S(u)也发散 - 若 S ( u ) S(u) S(u)收敛,则由(4-2)可知 S ( v ) S(v) S(v)也收敛
- 若 S ( u ) S(u) S(u)发散,则由(4-1)可知, S ( v ) S(v) S(v)也发散
- 若 S ( v ) S(v) S(v)收敛,则由 u n < 3 2 λ v n {u_n}<\frac{3}{2}\lambda{v_n} un<23λvn
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综上, λ ∈ ( 0 , + ∞ ) \lambda\in(0,+\infin) λ∈(0,+∞)时 S ( u ) S(u) S(u), S ( v ) S(v) S(v)有相同的敛散性
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- 结论2
- λ = 0 \lambda=0 λ=0,取 ϵ = 1 \epsilon=1 ϵ=1,代入(2),得 ∣ u n v n ∣ < 1 |\frac{u_{n}}{v_n}|<1 ∣vnun∣<1,又正项级数 u n , v n > 0 u_n,v_{n}>0 un,vn>0,即 u n < v n u_{n}
- 由比较审敛法, S ( v ) S(v) S(v)收敛,就有 S ( u ) S(u) S(u)收敛
- λ = 0 \lambda=0 λ=0,取 ϵ = 1 \epsilon=1 ϵ=1,代入(2),得 ∣ u n v n ∣ < 1 |\frac{u_{n}}{v_n}|<1 ∣vnun∣<1,又正项级数 u n , v n > 0 u_n,v_{n}>0 un,vn>0,即 u n < v n u_{n}
- 结论3:
- 由无穷大和无穷小的关系: λ = + ∞ \lambda=+\infin λ=+∞可推出 lim n → ∞ v n u n = 0 \lim\limits_{n\to{\infin}}\frac{v_n}{u_n}=0 n→∞limunvn=0
(5) - 若级数 S ( u ) S(u) S(u)收敛,由结论(2),知 S ( v ) S(v) S(v)收敛
(6) - 命题(6)是真命题,并由其逆否命题可知,若 S ( v ) S(v) S(v)发散, S ( u ) S(u) S(u)必发散
- 由无穷大和无穷小的关系: λ = + ∞ \lambda=+\infin λ=+∞可推出 lim n → ∞ v n u n = 0 \lim\limits_{n\to{\infin}}\frac{v_n}{u_n}=0 n→∞limunvn=0
- 小结:
- 注意分母 S ( v ) S(v) S(v)
- 用特殊函数带入可以帮助理解记忆: 1 x , 1 X 2 \frac{1}{x},\frac{1}{X^2} x1,X21
极限审敛法
- 这是极限形式的比较审敛法的推论(特例),可以不用记忆
- 将正项级数和 p p p级数作比较,可以得到实用上比较方便的极限审敛法
- 设 S ( u ) S(u) S(u)= ∑ n = 1 ∞ u n \sum_{n=1}^{\infin}u_{n} ∑n=1∞un是正项级数
- 若 lim n → ∞ n u n = l > 0 \lim\limits_{n\to{\infin}} nu_{n}=l>0 n→∞limnun=l>0(包含 l → ∞ l\to\infin l→∞的情形),则级数 S ( u ) S(u) S(u)发散
- 对于 p > 1 p>1 p>1,若 lim n → ∞ n p u n = l \lim\limits_{n\to{\infin}}n^{p}u_{n}=l n→∞limnpun=l, ( l ∈ [ 0 , + ∞ ) ) (l\in[0,+\infin)) (l∈[0,+∞)),则级数 S ( u ) S(u) S(u)收敛
- 这类方法适合在被判断级数的通项因子存在已知等价无穷小的情形,此时通过替换等价无穷小简化计算
证明
- 在极限形式的比较审敛法中,
- 取 v n = 1 n v_{n}=\frac{1}{n} vn=n1;则由调和级数 ∑ n = 1 ∞ 1 n p \sum_{n=1}^{\infin}\frac{1}{n^{p}} ∑n=1∞np1发散,可知结论1成立
- 取 v n = 1 n p v_{n}=\frac{1}{n^{p}} vn=np1,当 p > 1 p>1 p>1时, p p p级数 ∑ n = 1 ∞ 1 n p \sum_{n=1}^{\infin}\frac{1}{n^{p}} ∑n=1∞np1收敛,可知结论2成立
应用
- 对于所给的级数,观察其是否形似或接近两个重要模型,通过放缩和比较法,判断所给级数的敛散性
朴素比较法实例
- ∑ n = 2 ∞ 1 n ( n 2 + 1 ) \sum_{n=2}^{\infin}{\frac{1}{\sqrt{n(n^2+1)}}} ∑n=2∞n(n2+1)1
- 分析通项的分母,是一个对三次多项式开根号的式子,其量级相当于 x 3 / 2 x^{3/2} x3/2, 3 2 > 1 \frac{3}{2}>1 23>1,推测其收敛
- 这类推测是考虑放缩所进行的
- 因此考虑对其放大说明收敛
- 1 n ( n 2 + 1 ) ⩽ 1 n ⋅ n 2 {\frac{1}{\sqrt{n(n^2+1)}}} \leqslant{{\frac{1}{\sqrt{n\cdot n^2}}}} n(n2+1)1⩽n⋅n21= 1 n 3 2 \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} n231,根据 p p p级数的结论,给级数是收敛的
- 分析通项的分母,是一个对三次多项式开根号的式子,其量级相当于 x 3 / 2 x^{3/2} x3/2, 3 2 > 1 \frac{3}{2}>1 23>1,推测其收敛
- ∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + 1 ) \sum_{n=1}^{\infin}{\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}} ∑n=1∞n(n+1)1
- 同样考虑到分母的量级是 n 2 / 2 = n n^{2/2}=n n2/2=n,推测其发散,用比较法就要缩小,例如将通项缩小为 1 n + 1 \frac{1}{n+1} n+11,缩小后的发散,缩小前也发散,所以本级数发散
极限形式比较法求解
- 上面两个例子使用极限法更加简单
- 例如, lim n → ∞ 1 / n ( n 2 + 1 ) 1 / n 3 / 2 \lim\limits_{n\to\infin}\frac{1/\sqrt{n(n^2+1)}}{1/n^{3/2}} n→∞lim1/n3/21/n(n2+1)= 1 1 1,可以见,原级数和 p = 3 2 p=\frac{3}{2} p=23级数同敛散性,而后者是收敛的,因此前者也是收敛的
- 这里我们就不需要了放缩步骤
极限审敛法例
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判定级数 ∑ n = 1 ∞ ln ( 1 + 1 n 2 ) \sum_{n=1}^{\infin} \ln(1+\frac{1}{n^{2}}) ∑n=1∞ln(1+n21)的收敛性
- 解:考虑到 ln ( 1 + 1 n 2 ) ∼ 1 n 2 \ln(1+\frac{1}{n^2})\sim{\frac{1}{n^2}} ln(1+n21)∼n21, ( n → ∞ ) (n\to{\infin}) (n→∞)
- lim n → ∞ n 2 ln ( 1 + 1 n 2 ) \lim\limits_{n\to{\infin}}n^{2}\ln(1+\frac{1}{n^2}) n→∞limn2ln(1+n21)= lim n → ∞ n 2 ⋅ 1 n 2 \lim\limits_{n\to{\infin}}n^2\cdot\frac{1}{n^2} n→∞limn2⋅n21= 1 1 1,因此由极限审敛法,级数收敛
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判定 ∑ n = 1 ∞ n + 1 ( 1 − cos π n ) \sum_{n=1}^{\infin}\sqrt{n+1}(1-\cos\frac{\pi}{n}) ∑n=1∞n+1(1−cosnπ)的收敛性
- 令 u n u_{n} un= n + 1 ( 1 − cos π n ) \sqrt{n+1}(1-\cos\frac{\pi}{n}) n+1(1−cosnπ)
- 考虑到 ( 1 − cos π n ) ∼ 1 2 ( π n ) 2 (1-\cos\frac{\pi}{n})\sim{\frac{1}{2}(\frac{\pi}{n})^2} (1−cosnπ)∼21(nπ)2
- lim n → ∞ u n \lim\limits_{n\to{\infin}}u_{n} n→∞limun= lim n → ∞ n + 1 1 2 π 2 n − 2 \lim\limits_{n\to{\infin}}\sqrt{n+1}\frac{1}{2}\pi^2{n^{-2}} n→∞limn+121π2n−2= 1 2 π 2 lim n → ∞ ( n + 1 ) 1 2 n − 2 \frac{1}{2}\pi^2\lim\limits_{n\to{\infin}} (n+1)^{\frac{1}{2}}n^{-2} 21π2n→∞lim(n+1)21n−2
- 而 v n v_{n} vn= ( n + 1 ) 1 2 n − 2 (n+1)^{\frac{1}{2}}n^{-2} (n+1)21n−2是 n − 3 2 n^{-\frac{3}{2}} n−23的量级,因此考虑 lim n → ∞ n 3 2 ⋅ u n \lim\limits_{n\to{\infin}}n^{\frac{3}{2}}\cdot{u_n} n→∞limn23⋅un= 1 2 π 2 lim n → ∞ n 3 2 ( n + 1 ) 1 2 n − 2 \frac{1}{2}\pi^2\lim\limits_{n\to{\infin}} n^{\frac{3}{2}}(n+1)^{\frac{1}{2}}n^{-2} 21π2n→∞limn23(n+1)21n−2= 1 2 π 2 lim n → ∞ ( n + 1 n ) 1 2 \frac{1}{2}\pi^2\lim\limits_{n\to\infin}(\frac{n+1}{n})^{\frac{1}{2}} 21π2n→∞lim(nn+1)21= 1 2 π 2 \frac{1}{2}\pi^2 21π2
- 因此,由于极限审敛法,级数收敛