立体几何之目：2009年文科数学海南卷题18

2009年文科数学海南卷题18

如图，在三棱 锥 中， 是等边三角形，

（Ⅰ）证明∶;

（Ⅱ）若 ，且平面 平面 ，求三棱锥 的体积.

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【解答第1问】

image.png

作 中点 , 并连接 .

∵ 是等边三角形，∴

∵

∴ , ∴

∵ , ∴

∵ , ∴

又 ∵ , ∴ 平面

因为 , .

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【解答第2问】

image.png

作 于 , 并连接 .

∵ 平面 平面 , ，∴ 平面 , ∴

∵ ,

∴

同理，

∴ , 是等腰直角三角形.

∴ , ∴ .

∵ , ∴

又 ∵

∴

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【回归教材】

本题第一问是一道课本题。参见：人教版《数学-必修2》§2.3.2 练习1（p67）.

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【提炼与提高】

2009年文数海南卷和2007年理数海南卷使用了完全相同的模型，请注意比较分析。

请注意本题中模型中有7个等腰直角三角形：

两个等边三角形：

这样的四面体（或者它的变形）在高考题中的常用模型。一定要高度重要。

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