五分钟学完k-means

聚类算法有很多种，K-Means 是聚类算法中的最常用的一种，算法最大的特点是简单，好理解，运算速度快，但是只能应用于连续型的数据，并且一定要在聚类前需要手工指定要分成几类。

K-Means 聚类算法的大致意思就是“物以类聚，人以群分”：

算法流程

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1. 首先输入 k 的值，即我们指定希望通过聚类得到 k 个分组；
2. 从数据集中随机选取 k 个数据点作为初始大佬（质心）；
3. 对集合中每一个小弟，计算与每一个大佬的距离，离哪个大佬距离近，就跟定哪个大佬。
4. 这时每一个大佬手下都聚集了一票小弟，这时候召开选举大会，每一群选出新的大佬（即通过算法选出新的质心）。
5. 如果新大佬和老大佬之间的距离小于某一个设置的阈值（表示重新计算的质心的位置变化不大，趋于稳定，或者说收敛），可以认为我们进行的聚类已经达到期望的结果，算法终止。
6. 如果新大佬和老大佬距离变化很大，需要迭代3~5步骤。

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说了这么多，估计还是有点糊涂，下面举个非常形象简单的例子：
有6个点，从图上看应该可以分成两堆，前三个点一堆，后三个点另一堆。现在我手工地把 k-means 计算过程演示一下，同时检验是不是和预期一致：

1.设定 k 值为2

2.选择初始大佬（就选 P1 和 P2）

3.计算小弟与大佬的距离：

从上图可以看出，所有的小弟都离 P2 更近，所以次站队的结果是：

A 组：P1
B 组：P2、P3、P4、P5、P6

4.召开选举大会：

A 组没什么可选的，大佬就是自己
B 组有5个人，需要重新选大佬，这里要注意选大佬的方法是每个人 X 坐标的平均值和 Y 坐标的平均值组成的新的点，为新大佬，也就是说这个大佬是“虚拟的”。因此，B 组选出新大哥的坐标为：P 哥（（1+3+8+9+10）/5，（2+1+8+10+7）/5）=（6.2，5.6）。
综合两组，新大哥为 P1（0，0），P哥（6.2，5.6），而P2-P6重新成为小弟。

5.再次计算小弟到大佬的距离：

这时可以看到P2、P3离P1更近，P4、P5、P6离P哥更近，所以第二次站队的结果是：

A 组：P1、P2、P3
B 组：P4、P5、P6（虚拟大哥这时候消失）

6.第二届选举大会：
同样的方法选出新的虚拟大佬：P哥1（1.33，1），P哥2（9，8.33），P1-P6都成为小弟。

7.第三次计算小弟到大佬的距离：

这时可以看到 P1、P2、P3 离 P哥1 更近，P4、P5、P6离 P哥2 更近，所以第二次站队的结果是：
A 组：P1、P2、P3
B 组：P4、P5、P6

我们可以发现，这次站队的结果和上次没有任何变化了，说明已经收敛，聚类结束，聚类结果和我们最开始设想的结果完全一致。

损失函数

其中，1/2是系数。这样做的好处是，当我们对损失函数进行求导时，系数1/2可以抵消掉平方的2，从而得到更简洁的导数表达式，方便迭代优化算法的实现。

通过引入这个系数，不会改变问题的本质，但在数学推导和实际计算中，可以简化一些步骤。