归并排序与分治

分治

在计算机科学中，分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换(快速傅立叶变换)……

任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。n=2时，只要作一次比较即可排好序。n=3时只要作3次比较即可，…。而当n较大时，问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。

二、基本思想及策略

分治法的设计思想是：将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。

分治策略是：对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。

如果原问题可分割成k个子问题，1

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三、分治法适用的情况

分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：

1. 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决

2. 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。

3. 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；

4. 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。

第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；

第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；、

第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。

第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。

分治步骤

step1 分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；

step2 解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题

step3 合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。

归并排序

归并排序的关键在于归并两个相邻的子序列，使其变成一个排序好的新序列。如果这个新序列就是原来需要进行排序的数组，那么排序完成。所以，我们需要将原序列递归地分成若干子序列，直道最小的子序列只有一个元素，然后将子序列依次归并，就可以得到排序好的原序列。

代码

package test;

import java.util.Arrays;

/**
 * Created by liqiushi on 2017/12/26.
 */
public class MergeSort {
    public static void sort(int arr[], int low, int high) {
        int mid = (low + high) / 2;
        if (low < high) {
            //0 1 
            sort(arr, low, mid);//0 0、
            sort(arr, mid + 1, high);//1 1
            merge(arr,low,mid,high);
        }
    }

    /**
     * 有序地合并两个数组
     *
     * @param arr
     * @param low
     * @param mid
     * @param high
     */
    public static void merge(int arr[], int low, int mid, int high) {
        int[] sortArr = new int[high-low+1];
        int i = 0;
        int j = low;
        int k = mid+1;
        while (j <= mid && k  <= high) {
            if (arr[j] <= arr[k]) {
                sortArr[i++] = arr[j++];
            } else {
                sortArr[i++] = arr[k++];
            }
        }
        while (j > mid && k  <= high) {
            sortArr[i++] = arr[k++];
        }
        while (k > high && j <= mid) {
            sortArr[i++] = arr[j++];
        }
        for (int l = 0; l < sortArr.length; l++) {
            arr[low+l] = sortArr[l];
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {1, 5, 8, 4, 6, 78, 26, 13, 66};
        sort(arr, 0, arr.length - 1);
        System.out.println(Arrays.toString(arr));
        //arr,low,high
        //sort(arr,0,arr.length-1);
    }
}