牛客小白月赛14 A. 简单计数

链接

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/879/A

题意

完全图中从 点 $1$ 出发，经过 $k$ 条边（可重复）回到点 $1$ 的方案数。

思路一

设矩阵 $A$ 中每个元素都为 $1$，矩阵 $I$ 为单位矩阵，

所以根据题意，我们要求的就是 $(A-I{)}_{0,0}^k$。

根据矩阵二项式定理：$(A-I{)}^k={\sum }_{i=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i})A^i(-1{)}^{k-i}$。

所以

$\begin{array}{rl}(A-I{)}_{0,0}^k& =\sum _{i=0}^k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i}\right)n^{\max (0,i-1)}(-1{)}^{k-i}\\ & =\sum _{i=0}^k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i}\right)\frac{n^{\max (1,i)}}{n}(-1{)}^{k-i}\\ & =\frac{1}{n}((n-1{)}^k-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{0}\right)n^0(-1{)}^k+(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{0})n^1(-1{)}^k)\\ & =\frac{(n-1{)}^k+(-1{)}^k(n-1)}{n}\end{array}$

代码一

#include 
#define SZ(x) (int)(x).size()
#define ALL(x) (x).begin(),(x).end()
#define PB push_back
#define EB emplace_back
#define MP make_pair
#define FI first
#define SE second
using namespace std;
typedef double DB;
typedef long double LD;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int,int> PII;
typedef vector<int> VI;
typedef vector<PII> VPII;
//head
const int MOD=998244353;
LL n,k;
LL qpow(LL a,LL b) {
    LL ret=1;
    while(b) {
        if(b&1) ret=ret*a%MOD;
        a=a*a%MOD;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}
int main() {
    //freopen("E:/OneDrive/IO/in.txt","r",stdin);
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    cin>>n>>k;
    cout<<(qpow(n-1,k)+(n-1)*(k&1?-1:1)+MOD)%MOD*qpow(n,MOD-2)%MOD<<'\n';
    return 0;
}

思路二

记 $d{p}_{i,1}$ 为经过 $i$ 条边在点 $1$ 的方案数，$d{p}_{i,0}$ 为经过 $i$ 条边不在点 $1$ 的方案数。

转移方程：

$\{\begin{array}{l}dp[i][1]=dp[i-1][0]\\ dp[i][0]=(n-1)dp[i-1][1]+(n-2)dp[i-1][0]\end{array}$

构造矩阵加速递推。

代码二

#include 
#define SZ(x) (int)(x).size()
#define ALL(x) (x).begin(),(x).end()
#define PB push_back
#define EB emplace_back
#define MP make_pair
#define FI first
#define SE second
using namespace std;
typedef double DB;
typedef long double LD;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int,int> PII;
typedef vector<int> VI;
typedef vector<PII> VPII;
//head
const LL MOD=998244353;
int sz;
struct M {
    LL a[105][105];
    void clear() {memset(a,0,sizeof a);}
    M() {clear();}
    void init() {
        clear();
        for(int i=0;i<sz;i++) a[i][i]=1;
    }
    M operator + (const M &T) const {
        M ret;
        for(int i=0;i<sz;i++)
            for(int j=0;j<sz;j++)
                ret.a[i][j]=(a[i][j]+T.a[i][j])%MOD;
        return ret;
    }
    M operator - (const M &T) const {
        M ret;
        for(int i=0;i<sz;i++)
            for(int j=0;j<sz;j++)
                ret.a[i][j]=(a[i][j]-T.a[i][j]+MOD)%MOD;
        return ret;
    }
    M operator * (const LL &v) const {
        M ret;
        for(int i=0;i<sz;i++)
            for(int j=0;j<sz;j++) {
                if(!a[i][j]) continue;
                ret.a[i][j]=a[i][j]*v%MOD;
            }
        return ret;
    }
    M operator * (const M &T) const {
        M ret;
        for(int i=0;i<sz;i++)
            for(int k=0;k<sz;k++) {
                LL t=a[i][k];
                if(!t) continue;
                for(int j=0;j<sz;j++) {
                    if(!T.a[k][j]) continue;
                    ret.a[i][j]=(ret.a[i][j]+T.a[k][j]*t%MOD)%MOD;
                }
            }
        return ret;
    }
    M operator ^ (LL b) const {
        M ret,bas;
        for(int i=0;i<sz;i++) ret.a[i][i]=1;
        for(int i=0;i<sz;i++)
            for(int j=0;j<sz;j++)
                bas.a[i][j]=a[i][j];
        while(b) {
            if(b&1) ret=ret*bas;
            bas=bas*bas;
            b>>=1;
        }
        return ret;
    }
    void print() {
        for(int i=0;i<sz;i++)
            for(int j=0;j<sz;j++)
                cout<<a[i][j]<<" \n"[j==sz-1];
    }
};
int main() {
    //freopen("E:/OneDrive/IO/in.txt","r",stdin);
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    LL n,k;
    cin>>n>>k;
    sz=2;
    M t1,t2;
    t1.a[0][0]=1;
    t2.a[1][0]=1,t2.a[0][1]=n-1,t2.a[1][1]=n-2;
    t1*=t2^k;
    cout<<t1.a[0][0]<<'\n';
    return 0;
}