小乐数学科普：乌拉尔联邦大学解决最优控制问题的新方法

乌拉尔联邦大学的数学家Yurii Averboukh提出了通过使用Krasovski和Subbotin实现动态稳定性的概念来解决一组对象的最优控制问题的新方法。

“我们周围有许多系统，包括我们可以影响，可以控制的生物，技术，经济系统。我们的任务是以最佳方式做到这一点，例如，以最少的努力、资源和时间“，Yurii Averboukh教授解释道，“从数学的角度来看，任务仅限于最优控制理论，该理论的经典示例是登月：优化燃油消耗可增加至月亮的载货量”。

最优控制理论的一个特殊部分是微分博弈理论。它研究冲突情况下的一个、几个或许多对象的控制，并基于有关玩家（领先者：逃跑；跟随者：追赶）行为的当前信息。像整个最优控制理论一样，微分博弈论与偏微分方程理论密切相关。

偏微分方程理论与微分博弈论之间的紧密联系建立于1970年代至1980年代，由乌拉尔数学学校的最杰出代表，提出稳定性概念的院士尼古拉·克拉索夫斯基（Nikolai Krasovski）和用偏微分方程表达稳定性条件的安德烈·苏博京（Andrei Subbotin）。

“稳定性函数是“控制者”的最低必然结果的函数。根据克拉索夫斯基的理论，我们“迫使”“逃跑”的对手（无论是人，技术手段还是自然力量）， “告诉”我们其管理意图，根据这些数据并计算该玩家在游戏中获得的收益数量，你可以估算自己的最终收益。 Yurii Averboukh说，游戏结束时不会使我们结果更糟的情况，与稳定性条件相对应。由于我们最终了解到了结果，因此这种情况变得完全可以预测。也就是说，稳定性函数的计算使你可以预见和预测情况发展的结果，从而建立管理策略。”

“克拉索夫斯基和苏博京院士的做法的天才之处在于，他们制定了所谓的极端转移策略（extreme shift strategy），他们展示了如何知道对方玩家的“意图”，在这种情况下“风”（准备“告诉“他控制飞机的计划，我们称此类玩家为“笨蛋”）与“真风”（“狡猾”）对战。因此，为了达到稳定性条件，足以对抗“笨蛋”风，并对抗“狡猾”玩家（真风），你需要通过求解偏微分方程来计算稳定性函数。” Yurii Averboukh教授继续说道。

反过来，这位科学家想知道：Krasovski-Subbotin的稳定性概念是否适用于管理大量相似事物的情况。Averboukh教授在《数学分析与应用学报》上发表的文章中证实了对该问题的肯定回答。他展示了解的偏微分方程形式。

“事实证明，这并非易事：毕竟，我们正在处理许多Agent独立个体（假设它们的数量是无限的，就像空气中的分子数量一样）。为了确保所有对象以一致的方式起作用，其中每个都要被告知如何处理。同时我们假设一个单独的对象在不单独“识别”其他对象的情况下起作用，认为它们是“非个人的”群体，即所谓的“中间域”， Yurii Averboukh说，“使用度量（份额）的描述语言可以使人们了解某个区域边界内对象的密度，这使我们能够解决这个问题。”

Yurii Averboukh的研究成果中最明显的实际应用是对无人飞行器中队的控制。

“让我们想象一下，无人驾驶飞机的任务是在给定的时间将自己分散在田野上，并从害虫中对其进行处理。在这种情况下，风会影响无人驾驶飞机。在从地面开始的特定区域确定了它们的密度（对于例如，事实证明20％的无人机集中在一个区域，而80％则集中在另一个区域）并计算稳定性函数，我们可以首先向无人机发出更均匀分布的命令，其次，可以自信地预测在某个时刻，它们的均匀分布的误差将是10％，一段时间后将是9％，依此类推，最后是5％，这将是一个可接受的最小值。稳定性函数将展示如何在适当的时间将无人机移动到最佳位置，” Yurii Averboukh解释说。

在这种情况下，我们在偏微分方程（PDE）中遇到的“笨蛋”就是“愚蠢”的风，它“告诉”它将如何影响无人机。知道了这一点，并根据Krasovsky-Subbotin的极端转移策略，人们可以计算出“狡猾”风将如何起作用，也就是说，它将对现实中的无人机产生什么影响，以及因此它们将如何有序移动不使结果恶化（但如有可能，可以改善它）。

Yurii Averboukh认为，将来，可以将相同的原理应用于纳米颗粒的管理，例如，将药物运输到身体的某个部位。

译自EurekAlert.org 2021-2-12 译者zzllrr小乐 2021-2-13