集合论知识总结——映射
第一章 集合及其运算
第二章 映射
§1 函数的一般概念
§2 抽屉原理
§3 映射的一般性质
§4 映射的合成
§5 逆映射
§6 置 换
§7 二元和n元运算
§8 集合的特征函数
§1 函数的一般概念
映射：
（1）设Ｘ和Ｙ是两个非空集合, 若根据某一法则f，使得"x
X，都存在唯一的yY与之对应，则称f为一个从Ｘ到Ｙ的映射。
（2）设X和Ｙ是两个非空集合。若Ｘ×Ｙ的子集f满足下列条件："xX，都存在唯一的yY，使得(x,y)f[或f(x)=y]，则称f是X到Ｙ的映射。
定义域—Ｘ称为f的定义域。x对应元素y称为x在f下的象(或值)，记为f(x)。 而x称为y的原象。
值域—集合{f(x)|xX}称为f的值域(或象集)，记为Im(f)。 即{f(x)|xX}=Im(f)⊆Y。
记法—“f是Ｘ到Ｙ的映射”常记为：f:X→Y。
映射关系图（略）
特殊映射：
1.限制与扩张：设f:Ｘ→Y，A⊆X，当把f的定义域限制在Ａ上时，就得到了一个j:A→Y，"xA,j(x)=f(x),则称j为f在Ａ上的限制。反过来，f是j在Ｘ上的扩张。
2.部分映射：设f:A→Y ,A⊆X，则称f是X到Y（或Ｘ上）的一个部分映射。假定空集¢到Y有一个唯一映射（空映射），它也是Ｘ到Ｙ的部分映射。
3.映射的相等：设f,g:Ｘ→Y，则
f=g 
"xX，有f(x)=g(x) f≠g 
xX，使得f(x)≠g(x)
4.单射：设f:Ｘ→Y，若"
x1，x2X，只要x1≠x2，就有 f(x1)≠f(x2)。
5.满射：设f:Ｘ→Y，若"yY，xX,使得f(x)=y。
6.双射：设f:Ｘ→Y，若f既是满射又是单射，则称f为双射，或一一对应。这时也称Ｘ与Ｙ对等，记Ｘ～Ｙ。
7.恒等映射：设 f:Ｘ→Ｘ，若"xX，f(x)=x，则称f为Ｘ上的恒等映射。Ｘ上的恒等映射常记为Ix或I。
设f:Ｘ→Ｘ为集合X到集合X的一一对应，使得
，则f是X到X的恒等映射（错）
重要结论：
定理1 f:A→B，设Ａ,B是有限集合。则
（1）若f是单射，则 |A|
|B|；（2）若f是满射，则 |A|
|B|；（3）若f是双射，则 |A|=|B|。
定理2设f:A→B，Ａ,B是有限集合且|A|=|B|，则f是单射f是满射。
说明:(1)f是单射也是满射，从而f是双射；
(2)定理中Ａ,Ｂ为有限集合是必要条件，若Ａ,Ｂ不是有限集合，则结论不成立。
§2 抽屉原理
抽屉原理：n+1个物体放到n个抽屉里，则一定存在某一抽屉里面至少有两个物体。
抽屉原理强形式:设m1,m2,…,mn都是正整数,若把m1+m2+…+mn-n+1个物体放到n个抽屉里,则或第一个抽屉里至少有m1个物体,或第二个抽屉里至少有m2个物体,…,或第n个抽屉里至少有mn个物体。
说明:当m1=m2=…=mn=2时，m1+m2+…+mn-n+1=n+1。抽屉原理是强形式的一种特殊情况。
推论1：若有m个物体放到n个抽屉里，则一定存在某一个抽屉，它里面至少有[(m-1)/n]+1个物体。
推论2 若把n(m-1)+1个物体放进n个抽屉，则一定存在一个抽屉，里面至少有m个物体
此推论是强形式中，当m1=m2=…=mn=m 时的特殊情况。
推论3 若m1,m2,…,mn是n个正整数，且(m1+m2+…+mn)/n>r-1，则m1,m2,…,mn中 至少有一个大于或等于r。
§3 映射的一般性质
象集（象）：设f:X→Y，A⊆X，由f和Ａ可以唯一的确定Ｙ 中的一个子集，记为f(A)，f(A)={f(x)|xA}。称f(A)为集合Ａ在f下的象集（象）。
说明：利用这种方法，由f可以确定一个从
到
的映射，称为导出映射，仍记为f。则有
原象：设f:X→Y，B⊆Y，则由f和Ｂ可以唯一确定X上的一个子集，记为
，
={x|f(x)B，xX} 称为在f下B的原象。是X中在f下象落到B里的那些元素构成的集合。
性质：
定理1 设 f:X→Y ，C，D⊆Y，则
定理2 设 f:X→Y，A，B⊆X，则
注意，两个集合的交（差、对称差）的象不一定与它们的象的交（差、对称差）相重合。
§4 映射的合成
映射合成的定义：设f:A→B，g:B→C。若存在一个从A到C的映射记为h，并且"xA，h(x)=g(f(x))，则称h为映射f与g的合成。h记为gºf(gf)，即h=gºf=gf
性质：虽然交换律不成立，但却有结合律成立。
定理1 设f:X→Y，g:Y→Z，h:Z→W，则 h(gf)=(hg)f
定理2 设f:X→Y,则fºIX=IYºf=f
定理3 设f:X→Y,g:Y→Z，则
（1）若f与g都是单射，则gf也是单射；
（2）若f与g都是满射，则gf也是满射；
（3）若f与g都是双射，则gf也是双射。
定理4 设f:X→Y，g:Y→Z，则
（1）若gf是单射，则f是单射；
（2）若gf是满射，则g是满射；
（3）若gf是双射，则f是单射，g是满射。
说明：gf是单射时，f是单射，但g不一定是单射；gf是满射时，g是满射，但f不一定是满射。
§5 逆映射
逆映射的定义：设f:X→Y。若存在一个映射g:Y→X,使得gf=IX且fg=IY，则称映射f是可逆的，而g称为f的逆映射。由定义，f可逆gf=IX与fg=IY同时成立，缺一不可。
左逆与右逆映射：设f:X→Y，则
(1)若存在一个映射g:Y→X,使得gf=IX，则称f是左可逆的，g称为f的左逆映射。
(2)若存在一个映射h:Y→X,使得fh=IY，则称f是右可逆的，而h称为f的右逆映射。
逆映射的性质：
定理1 设f:X→Y，则f是可逆的f为双射。
定理2 设f:X→Y，则若f是可逆的，那么f的逆映射是唯一的。f逆记为f-1。
定理3 设f:X→Y，g:Y→Z，若f和g都是可逆的，则gf也是可逆的且(gf)-1=f-1g-1，（f–1)-1=f。公式(gf)-1=f–1g-1称为“穿脱原则”，脱的次序正好与穿的次序相反。
定理4 设f:A→B，A≠
¢，则
（1）f是左可逆的，当且仅当f是单射；
（2）f是右可逆的，当且仅当f是满射；
（3）f既是左可逆的又是右可逆的f是双射；
（4）若f是双射，则f的左逆映射等于右逆映射。
§6 置 换
置换的定义：有限集合S到自身的一一对应称为S上的一个置换。若|S|=n，则S上的置换称为n次置换。S上的n次置换个数等于n!。
n阶有限群同构于n阶置换群;
n阶置换群之间的代数运算就是置换的乘法运算。
置换的表示：用1，2，…，n表示n元集S的各元素。
设S={1,2,…,n}，s是S上置换，即s:S→S, s是一一对应。
"iS ，存在唯一kiS对应，即s(i)=ki。由于S只有n个元素，所以可把S的n个元素写在一行上，而把每个元素在s下的象ki写在这个元素的下面，就得到如下的一个表:
说明：一个n次置换就是S中的元素的一个全排列。
置换的乘积（合成）
乘积的表示方法：a与b的乘积（合成）就可记为ab，并且"iS (i)ab=((i)a)b ，或简记为(i)ab。
几种特殊的置换：
1. S上的恒等置换记为I，即
2. 置换的逆置换：
s·s-1=s-1·s=I
即s的逆s-1就是s的表示式的上下两行交换后所得到的表达式。
3.循环置换、对换
定义1 设s是S上的一个n次置换，若i1s=i2,i2s=i3,
…,ik-1s=ik,iks=i1,而"iS\{i1,i2,…,ik},is=i，则称s是一个k—循环置换，记为(i1i2…ik)。即
(i1i2…ik)=(i2i3…iki1)=(i3i4…iki1i2)=…=(iki1i2…ik-1)
当k＝2时，2－循环置换也称为对换,简记为(i,j)。如图：
4. 循环置换的逆、对换的逆
循环置换的逆为:
对换的逆就是其本身。
循环置换的性质：
映射的合成运算不满足交换律，故置换的乘积也不满足交换律。即"a,bÎSn ，ab¹ba。但对于两个没有共同数字的循环置换却是可交换的。
定义1 设(i1i2 …ik)与(j1j2…jr)是两个循环置换，若(i1i2…ik)∩(j1j2…jr)=¢，则称这两个循环置换是没有共同数字的循环置换（或称不相交）。
定义2 若一个置换能被分解为偶数个对换的乘积，则称这个置换为偶置换。若一个置换能被分解奇数个对换的乘积，则称这个置换为奇置换。
1个奇置换×1个偶置换＝奇置换；1个奇置换×1个奇置换＝偶置换；
任意偶数个奇置换乘积是偶置换；
任意奇数个偶置换乘积是偶置换； 任意奇数个奇置换乘积是奇置换。
定理1 设a=(i1i2 …ik)与b=(j1j2 …jr)是两个没有共同数字的循环置换，则a与b是可交换的，即ab=ba。
定理2 结合律成立。
定理3（置换的循环分解）每个置换都能分解成若干个没有共同数字的循环置换的乘积。
若不计这些循环置换的顺序，则这种分解是唯一的。
定理4 每个循环置换可被分解成若干个对换的乘积。
定理5 每个置换能被分解成若干个对换的乘积。
定理6 若把置换分解成若干个对换的乘积，则对换的个数的奇偶性是不变的。
§7 二元和n元运算
定义1 设X,Y,Z为三个非空集合，j:X×Y→Z。则称j为X与Y到Z的一个二元运算。
当X=Y=Z时，即j:X×X→X，则称j为X上的二元(代数)运算。
定义2 设X,Y是两个非空集合，j:X→Y。称j为X到Y的一个一元运算。
当X=Y,即若j:X→X，则称j为X上的一元运算。也称j为X的一个变换。
定义3 设X1,X2,…,Xn,Y为非空集合，
j:X1×X2×…×Xn →Y。则称j为X1,X2,…,Xn到Y的一个n元运算。
若X1=X2=…=Xn=Y=X，即j:X×X×…×X→X，则称j为X上的n元运算。
§8 集合的特征函数
定义1 设X是一个集合，E⊆X，jE:X→{0,1}。"xX，
则称j为子集E的特征函数。
说明：
1.如图所示表示了这个映射的特征。
2.特征函数是由E唯一确定的，反过来，对任一特征函数都能唯一地确定一个E。因此，集合E与它的特征函数是一一对应。
3.子集E与它的特征函数jE一一对应，而X共有||个子集，若用Ch(X)={jE|jE:X→{0,1},E⊆X}表示时，则Ch(X)也应该有||个，即~Ch(X)。
4.集合的特征函数是描述集合的另一种方法。