避免约束系数过大的2种技巧

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如前文所述，当数学模型当中的约束系数过大时，会增加模型的求解难度，这一点会在预处理当中改善；另一方面是，当模型的约束系数差距过大时（系数范围很广），会发生数值问题，即造成求解结果的不稳定（求解时间长或求解结果有误），因此在建模当中有着这样一些准则，就是约束函数当中的项，应该具有可比较的大小，以便将计算误差降至最低。

简而言之，就是控制约束函数的项的系数差距。以下介绍避免这种约束系数过大的2种技巧。

现有一个约束如下：

$$\begin{gathered} x-10^{6}y\ge 0 \\ y\in [0,10] \end{gathered}$$

方法1：增加中间变量（这个方法的效果往往不明显）：

$$\begin{gathered} x-10y_1\ge 0 \\ {y}_1-10y_2=0 \\ {y}_2-10y_3=0 \\ {y}_3-10y_4=0 \\ {y}_4-10y_5=0 \\ {y}_5-10y=0 \\ y\in [0,10] \end{gathered}$$

方法2：改变变量的取值范围（更常用）：

$$\begin{gathered} x-10^3{y}^{\prime }\ge 0 \\ {y}^{\prime }\in [0,10^4] \end{gathered}$$

通过改变变量 $y$ 的范围成为新的变量 $y^{\prime }$，来降低约束系数的范围。其中 $y^{\prime }=10^{3}y$。