深入理解数据在计算机中如何存储之浮点数（能看懂文字就能明白系列）

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前言

在前面的文章中，我们了解了整型的存储方式，那浮点数是否和整型的存储方式是否一样，如果不一样，那浮点数到底是如何存储的呢

本节目标：理解浮点数在内存中是如何存储的，和整型存储的方式有什么区别

本节重点：

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一、浮点数的存储

#include
int main()
{
	int i = 0;
	float sum=0;
	for (i = 1;i <= 100;i++)
	{
		sum += 0.1;
	}
	printf("%f", sum);
	return 0;
}

我们先来看以上的代码，这是一个将0.1累加100次的代码，按照正常的计算，结果应该显示10，但当我们运行这个代码时，结果却出人意料。

运行结果：

几乎万能的计算机运算竟然出错了，这究竟是怎么回事呢
程序没错，计算机也没有发生故障，当然，C语言也没有什么问题。可为什么会出现这样的结果呢？这时，如果考虑一下计算机处理小数的机制，就讲得通了。那么，计算机内部是如何处理小数的呢？请接着往下看

要理解这个结果，⼀定要搞懂浮点数在计算机内部的表示方法。
在深入理解之前，我问问大家这样一个问题：
我们之前已经介绍了如何二进制用表示一个整数，那请问如何把1011.0011这个有小数点的二进制转换成十进制。
小数点前面部分的转换方法在前面的文章已经介绍过，只需要将各数位值和位权相乘，然后再将相乘的结果相加即可实现。那么根据这个转换方法，小数点后面的处理方式也是跟整数是一样的，将各数位的数值和位权相乘的结果相加即可。

二进制数小数点前面部分的位权，第1位是2的0次方、第2位是2的1次方…以此类推。小数点后面部分的位权，第1位是2的-1次方、第2位是2的-2次方，以此类推。0次方前面的位的位权按照1次方、2次方…的方式递增，0次方以后的位的位权按照-1次方、-2次方…的方式递减。
这一规律并不仅限于二进制数，在十进制数和十六进制数中也同样适用。既然二进制数的小数点后第3位是2的-3次方(0.125)，第4位是2的-4次方(0.0625)，那么小数点以后的.0011转换成十进制数就是0.125+0.0625=0.1875。
然后由于整数部分的1011转换成十进制数是11。所以，二进制数1011.0011转换成十进制数就是11+0.1875=11.1875。
了解如何用二进制表示小数的方式之后，前面的计算机运算出错的原因也就容易理解了。
这是因为有一些十进制的小数无法转换成二进制数，例如，十进制的3.14，就无法用二进制数正确表示，小数点后面即使有几百位也无法表示出来。
如图所示：

十进制的3.4转换成二进制后，会变成11.00101010000……这样的循环小数（因此，在遇到这种情况时，计算机就会根据变量数据类型所对应的长度将数值从中间截断或四舍五入。）
这和无法用十进制数来表示1/3是一样的道理的。1/3就是0.33333……，同样是循环小数

接下来正式进入浮点数的存储方式：

根据国际标准IEEE（电子和电子工程协会）754，任意一个二进制浮点数V可以表示成下面的形式：

举例来说：
十进制的5.0，写成二进制都是101.0，相当于1.012^2
按照上面V的格式，可以得出S=0，M=1.01，E=2
十进制的-5.0，写成二进制是-101.0，相当于-1.012^2。那么，S=1,M=1.01,E=2
IEEE 754规定：
对于32位的浮点数，最高的1位存储符号位S，接着的8位存储指数E，剩下的23位存储有效数字M
对于64位的浮点数，最高的1位存储符号位S，接着的11位存储指数E，剩下的52位存储有效数字M

上图是float类型浮点数的内存分配

上图是double类型浮点数的内存分配

二、浮点数存的过程

IEEE 754 对有效数字M和指数E，还有一些特别规定。
前面说过， 1≤M<2 ，也就是说，M可以写成 1.xxxxxx 的形式，其中 xxxxxx 表示小数部分。
IEEE 754 规定，在计算机内部保存M时，默认这个数的第一位总是1，因此可以被舍去，只保存后面的xxxxxx部分。比如保存1.01的时候，只保存01，等到读取的时候，再把第一位的1加上去。这样做的目的是节省1位有效数字。以32位浮点数为例，留给M只有23位，将第一位的1舍去以后，等于可以保存24位有效数字。
至于指数E，情况就比较复杂
首先，E为一个无符号整数（unsigned int）
这意味着，如果E为8位，它的取值范围为0到255；如果E为11位，它的取值范围为0到2047。但是，我们知道，科学计数法中的E是可以出现负数的，所以IEEE754规定，存入内存时E的真实值必须再加上一个中间数，对于8位的E，这个中间数是127；对于11位的E，这个中间数是1023。比如，2^10的E是10，所以保存成32位浮点数时，必须保存成10+127=137，即10001001。

三、浮点数取的过程

指数E从内存中取出还可以再分成三种情况：

E不全为0或不全为1

这时，浮点数就采用下面的规则表示，即指数E的计算值减去127（或1023），得到真实值，再将有效数字M前加上第一位的1。
比如：0.5 的二进制形式为0.1，由于规定正数部分必须为1，即将小数点右移1位，则1.0*2^(-1)，其阶码为-1+127(中间值)=126，表示为01111110，而尾数1.0去掉整数部分为0，补齐0到23位
00000000000000000000000，则其二进制表⽰形式为:

0 01111110 00000000000000000000000

E全为0

这时，浮点浮点数就采用下面的规则表⽰，即指数E的计算值减去127（或1023），得到真实值，再将有效数字M前加上第一位的1。
比如：0.5 的二进制形式为0.1，由于规定正数部分必须为1，即将小数点右移1位，则1.0*2^(-1)，其阶码为-1+127(中间值)=126，表示为01111110，而尾数1.0去掉整数部分为0，补齐0到23位
00000000000000000000000，则其二进制表示形式为:

0 01111110 00000000000000000000000

E全为0

这时，浮点数的指数E等于1-127（或者1-1023）即为真实值，有效数字M不再加上第一位的1，而是还原为0.xxxxxx的小数。这样做是为了表示±0，以及接近于0的很小的数字。

0 00000000 00100000000000000000000

E全为1

这时，如果有效数字M全为0，表⽰±无穷大（正负取决于符号位s）

0 11111111 00010000000000000000000

接下来上练习：

#include 
int main()
{
	int n = 9;
	float* pFloat = (float*)&n;
	printf("*pFloat的值为：%f\n", *pFloat);
	*pFloat = 9.0;
	printf("num的值为：%d\n", n);
	return 0;
}

各位觉得上面的输入结果是什么

为什么 9 还原成浮点数，就成了 0.000000 ？
解释：
9以整型的形式存储在内存中，得到如下二进制序列：

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1001

首先，将 9 的二进制序列按照浮点数的形式拆分，得到第一位符号位s=0，后面8位的指数
E=00000000 ，最后23位的有效数字M=000 0000 0000 0000 0000 1001。由于指数E全为0，所以符合E为全0的情况。
因此，浮点数V就写成：

显然，V是一个很小 的接近于0的正数，所以用十进制小数表示就是0.000000。
浮点数9.0，为什么整数打印是 1091567616
首先，浮点数9.0 等于二进制的1001.0，即换算成科学计数法是：1.001×2^3
所以： 9.0 = (−1)的零次方*（1.001）*2的三次方。
那么，第一位的符号位S=0，有效数字M等于001后面再加20个0，凑满23位，指数E等于3+127=130，即10000010
所以，写成⼆进制形式，应该是S+E+M，即：

0 10000010 001 0000 0000 0000 0000 0000

这个32位的二进制数，被当做整数来解析的时候，就是整数在内存中的补码，原码正是1091567616

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