蓝桥杯备赛 day 1 —— 递归 、递归、枚举算法(C/C++,零基础,配图)

目录

前言

枚举的概念

递归的概念

    例题:

1. 递归实现指数型枚举

2. 递归实现排列型枚举

3. 递归实现组合型枚举

递推的概念

   例题:

斐波那契数列

习题

1. 带分数

2. 反硬币

3. 费解的开关

总结


前言:

蓝桥杯备赛 day 1 —— 递归 、递归、枚举算法(C/C++,零基础,配图)_第1张图片       

         这篇文章主要是准备蓝桥杯竞赛同学所写,为你更好准备蓝桥杯比赛涉及的算法知识点。不知道你是否苦恼于不知算法从何学起,苦恼于网上资料稀少,或者复杂难懂,这篇文章就是帮助这部分同学的。

        这篇文章会将C平滑过度到C++,如果你只学过C语言的基本语法,也没必要担心不合适,涉及到的C++知识点会进行详细讲解。


枚举的概念:

很多问题都可以" 暴力解决 " —— 不用太多脑筋,把所有可能性全部列举出来,然后一一市实验。尽管这样的方法显得很“笨”,但常常是行之有效的。

                                                                                  ——《 算法竞赛入门经典(第2版) 》

        简单的理解就是,列举出所有可能性,逐个实验,合适就留下,不合适就丢弃,看下一个,直到列举完全部数据。

        这里为什么讲解枚举呢,因为在递归和递推的很多题中,常常结合枚举法,所以我们先讲解其概念,方便接下里更好的讲解递归和递推。

        在算法竞赛中,对于大多数人来说,其实并不需要关注算法的优化和鲁棒性(健壮性),只需要AC(通过)即可,所以,在实际比赛中,往往通过暴力枚举的方法就可以获得大部分的分数,所以打好递归和枚举的基础,非常重要。


递归的概念:

        递归的思想就是,将一个大问题化解成一个个子问题,直到化解成我们简单理解计算的数。放在C/C++语言中就是,1. 函数自己调用自己;2. 必须有函数调用结束条件;3. 每次调用越来越接近这个条件。

        这个概念相信大家在C语言学习阶段都有学习过,所以我们简单提一下,我们通过例题来更好的理解。当然,如果你感觉一开始很难理解,这很正常,多看几遍思路,照着敲一遍,自己在写一遍(注意这里就不能照着超了,即便错了,也要自己调试,超过15分钟后依旧没思路再来看)。如果感觉头痛,休息一下,再回来敲代码,坚持不放弃就是胜利。

例题:

        我们先给出原题,如果你有思路,可以自己先写一遍。其次,在展示 思路,最后展示代码。

1. 递归实现指数型枚举

92. 递归实现指数型枚举 - AcWing题库

蓝桥杯备赛 day 1 —— 递归 、递归、枚举算法(C/C++,零基础,配图)_第2张图片

解题思路:

        我们先创建一个数组,有N+1 个元素,我们使用下标1 ~ N 表示每个数,如果这个数被选择,放如数字1;如果没有被选择,就放入2。最后打印1~N被选择的数。

//引入C语言标准头文件stdio.h ,包含printf 和 scanf函数
//引入C语言标准头文件string.h ,包含字符串 和 内存 函数
#include 
#include 

//包含函数cin , cout 类似于 scanf 和 printf 
#include 

//C++STL算法,部分算法的使用
#include 

using namespace std;

const int N = 15;    //数组开辟的多一点,方便操作。

int n;

int st[N];	//每个数的状态,0代表未知 1代表选取 2代表未选取

//u是下标
void dfs(int u)
{
	if (u > n)
	{
		for (int i = 1;i <= n;i++)
		{
			if(st[i] == 1)
				printf("%d ", i);
		}
		puts("");
		return;
	}

	st[u] = 1;	//未选取
	dfs(u + 1);
    st[u] = 0;	//还原现场,删掉也可以,下面会重置

	st[u] = 2;	//选取
	dfs(u + 1);
	st[u] = 0;	//还原现场

}



int main()
{
	cin >> n;

	dfs(1);

	return 0;
}

2. 递归实现排列型枚举

94. 递归实现排列型枚举 - AcWing题库

蓝桥杯备赛 day 1 —— 递归 、递归、枚举算法(C/C++,零基础,配图)_第3张图片

解题思路:

        这里我们可以沿用上一个题解的思路,不过有了一点延伸。之前我们是对每个数进行枚举,选择或是不选择。

        现在,我们对每个位置进行枚举,枚举出一个没有被选择的数,直到最后一个位置枚举结束,打印。

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N=10;    //为了方便理解,下标从1开始

int n;
int stu[N];      //每个位置
bool used[N];    //每个数的状态,选择就是 true,没选择就是 false


//u就是下标,代表哪一个位置
void dfs(int u)
{
	if (u > n)
	{
		for (int i = 1;i <= n;i++)
		{
			printf("%d ", stu[i]);
		}
		puts("");
	}

	for (int i = 1;i <= n;i++)
	{
		if (!used[i])
		{
			stu[u] = i;
			used[i] = true;

			//递归到下一位置
			dfs(u + 1);

			//恢复现场
			used[i] = false;
		}
	}
}

int main()
{
	cin >> n;
	
	dfs(1);
	return 0;
}

3. 递归实现组合型枚举

蓝桥杯备赛 day 1 —— 递归 、递归、枚举算法(C/C++,零基础,配图)_第4张图片

解题思路:

        什么组合呢,就是不管顺序,例如,{1,2,3} 和 {1,3, 2}若果是排列的话,就是不同的排列;如果是组合的话,就是同一个组合。

        字典序是什么呢,例如 ab 和 ac 的ab字典序较小,比较的就是ASCII码值;abc 和 ab的字典序,ab在前面。

        介绍了上面两个内容,已经有了做题的基础。其实这题也是非常好做的,就是排列型枚举的衍生,可以阅读样例,其实有一种规律就是,每一个位置的数据都比他前一个数据大,也就是我们从小到大依次枚举,得到的就是一个字典组较小的在前的组合。

1. 在每个位置枚举未出现的数字;

2. 每个位置的数据都比前一个位置的数据大

蓝桥杯备赛 day 1 —— 递归 、递归、枚举算法(C/C++,零基础,配图)_第5张图片

        这里我们可以进行一个优化,例如,3个位置从1~3中进行组合,如第一个数是2 或者 3 就没必要枚举了,因为没有2 和 3 后面的数不能够填满剩余2 个位置。

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 25;

int n;
int m;
int ways[N];    //每个位置的数据,存放到数组ways中


//u就是下标,start就是比前一个位置的数据大的那个数据
void dfs(int u,int start)
{
    //这里进行了优化,例如样例中,4和5放在第一个位置就没必要往下枚举了
	if (n - start < m - u)
	{
		return;
	}
    
    //枚举完了m个位置,进行打印
    if(u > m)
    {
        for(int i =1;i<=m;i++)
        {
            printf("%d ",ways[i]);
        }
        puts("");
        return ;
    }
    
    //在每个位置上进行枚举操作,枚举没有出现的数字,并保持有序
    for(int i=start;i<=n;i++)
    {
        ways[u] = i;
        dfs(u + 1 ,i + 1);
        
    }
}


int main()
{
    cin>>n>>m;
    dfs(1,1);    //下标从1开始;start = 1,即从1开始枚举
    return 0;
}

递推的概念:

        递归的理解就是,先求出小问题,再由小问题求出大问题。下面就用斐波那契数列作为讲解,第三项就是前两项求和。

例题:

斐波那契数列

#include 

using namespace std;

int n,fib[50];

int main(){
    cin >> n;
    feibo[0]=0;
    feibo[1]=1;
    for(int i=2;i

习题:

1. 带分数

1209. 带分数 - AcWing题库

蓝桥杯备赛 day 1 —— 递归 、递归、枚举算法(C/C++,零基础,配图)_第6张图片

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 20;

bool used[10];

int num;
int ans;

bool check(int a, int c)
{
	long long  b = num * (long long)c - a * c;
	if (!a || !b || !c)
	{
		return false;
	}

	bool backup[N];
	memcpy(backup, used, sizeof used);

	while (b)
	{
		int i = b % 10;
		b /= 10;
		if (!i ||backup[i])
		{
			return false;
		}
		backup[i] = true;
	}

	
	for (int i = 1;i < 10;i++)
	{
		if (!backup[i])
		{
			return false;
		}
	}

	return true;
}

void dfs_c(int u,int a, int c)
{
	if (u > 9)
	{
		return;
	}

	if (check(a, c))
	{
		ans++;
	}

	for (int i = 1;i <= 9;i++)
	{
		if (!used[i])
		{
			used[i] = true;
			dfs_c(u + 1, a, c * 10 + i);
			used[i] = false;
		}
	}
}

void dfs_a(int u,int a)
{
	if (a >= num)
	{
		return;
	}
	if (a)
	{
		dfs_c(u, a, 0);
	}

	for (int i = 1;i <= 9;i++)
	{
		if (!used[i])
		{
			used[i] = true;
			dfs_a(u + 1, a * 10 + i);
			used[i] = false;
		}
	}
}

int main()
{
	cin >> num;

	dfs_a(0,0);

	cout << ans;

	return 0;
}

2. 翻硬币

1208. 翻硬币 - AcWing题库

蓝桥杯备赛 day 1 —— 递归 、递归、枚举算法(C/C++,零基础,配图)_第7张图片

3. 费解的开关

95. 费解的开关 - AcWing题库

蓝桥杯备赛 day 1 —— 递归 、递归、枚举算法(C/C++,零基础,配图)_第8张图片

蓝桥杯备赛 day 1 —— 递归 、递归、枚举算法(C/C++,零基础,配图)_第9张图片

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

char g[6][6], back[6][6];
int T;
int dx[5] = { -1,0,1,0,0 }, dy[5] = { 0,1,0,-1,0 };

void turn(int x,int y)
{
	for (int i = 0;i < 5;i++)
	{
		int a = x + dx[i];
		int b = y + dy[i];
		if (a < 0 || a >= 5 || b < 0 || b >= 5)
		{
			continue;
		}
		g[a][b] ^= 1;
	}
}

int main()
{
	cin >> T;
	while (T--)
	{
		//对每一行进行输入
		for (int i = 0;i < 5;i++)
		{
			cin >> g[i];
		}
		int ret = 10;

		//枚举第一行的操作
		for (int op = 0;op < 32;op++)
		{
			int step = 0;
			memcpy(back, g, sizeof g);

			//对第一行进行操作
			for (int i = 0;i < 5;i++)
			{
				if (op >> i & 1)
				{
					step++;
					turn(0, i);
				}
			}

			//对第2 - 4 行进行操作
			for (int i = 0;i < 4;i++)
				for (int j = 0;j < 5;j++)
				 {
					 if (g[i][j] == '0')
					 {
						step++;
						turn(i + 1, j);
					 }
				 }

			//对最后一行进行检查
			bool dark = false;
			for (int i = 0;i < 5;i++)
			{
				if (g[4][i] == '0')
				{
					dark = true;
					break;
				}
			}
			if (!dark)
			    ret = min(step, ret);
			memcpy(g, back, sizeof g);
		}
		if (ret > 6)
			ret = -1;
		cout << ret << endl;
	}
	return 0;
}

总结:

        以上,我们就对递归、递推和枚举在蓝桥杯中的知识点进行了讲解,并针对性的讲解了例题,当然这也只是帮你更好的理解这些算法知识,想要学好算法,还需要不断地刷题练习,这里推荐到洛谷,acwing等网站进行练习,比如你看完了这篇文章,做回了例题习题,就可以上这些网站进行想应的练习。

蓝桥杯备赛 day 1 —— 递归 、递归、枚举算法(C/C++,零基础,配图)_第10张图片

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