Unity中我们常见一些有弧度的曲线足球射门之类的我们可以用到贝塞尔曲线

数学原理

线性贝塞尔曲线

看起来类似unity自带的Lerp一样

二次贝塞尔曲线

从绿色线的头部到尾部同时绿色线的头从P0→P1
绿色线的尾从P1-P2

三次贝塞尔曲线和N次

三次贝塞尔曲线

然后我们发现三次两个绿线又出来个蓝线根据蓝线移动

N次的图就没找到反正就是在一堆点之内控制移动 N次依此类推

Unity应用

直接整一个工具类使用这是常用的2次贝赛尔曲线

using System.Collections;
using System.Collections.Generic;
using UnityEngine;
/// 
/// 二次贝塞尔函数工具类
/// 
public class BezierUtils : MonoBehaviour
{
    /// 
    /// 根据T值，计算贝赛尔曲线上面对应的点
    /// 
    /// T值
    /// 起始点
    /// 控制点
    /// 目标点
    /// 根据T值计算出来的贝赛尔曲线
    /// (1-t)2P0+2(1-t)tP1+t2P2
    static Vector3 CalculateCubicBezierPoint(float t, Vector3 p0, Vector3 p1, Vector3 p2)
    {
        float u = 1 - t;
        float tt = t * t;
        float uu = u * u;

        Vector3 p = uu * p0;//(1-t)2P0
        p += 2 * u * t * p1;//2(1-t)tP1
        p += tt * p2;//t2P2

        return p;
    }
    /// 
    /// 获取一个贝赛尔曲线点的数组
    /// 
    /// 起始点
    /// 控制点
    /// 目标点
    /// 采样点的数量 精度
    /// 一个贝赛尔曲线的数组
    public static List GetBeizerList(Vector3 startPoint, Vector3 contiolPoint, Vector3 endPoint, int segmentNum)
    {
        List path = new List();
       // Vector3[] path = new Vector3[segmentNum];
        //若长度为5 采样点为 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5k
        for (int i = 1; i <= segmentNum; i++)
        {
            float t = i / (float)segmentNum;
            Vector3 pixel = CalculateCubicBezierPoint(t, startPoint, contiolPoint, endPoint);
            path.Add(pixel);           
            Debug.Log(path[i - 1]);
        }
        return path;
    }
}

然后是测试类

using System;
using System.Collections;
using System.Collections.Generic;
using UnityEngine;

public class TestBezier : MonoBehaviour
{
    [Header("开始目标")]
    public Transform targe1;
    [Header("控制点")]
    public Transform controlPoint;
    [Header("终点目标")]
    public Transform targe2;
    [Header("精确度")]
    public int accuracy = 5;
    [Header("速度")]
    public float speed = 1;
    float t;
    [Header("是否开始移动")]
    public bool isMove = false;//手动控制
    List path;

    void Awake()
    {
        path = BezierUtils.GetBeizerList(targe1.position, controlPoint.position, targe2.position, accuracy);
    }
    /// 
    /// 寻路模拟
    /// 
    /// 
    public void FindPath(List path)
    {
        t += Time.deltaTime;
        if (t >= speed)
        {
            t = 0;
            if (path != null && path.Count > 0)
            {
                var startPos = path[0];
                targe1.transform.position = startPos;
                path.Remove(startPos);
            }
        }
    }
    // Update is called once per frame
    void Update()
    {
        if (isMove == true)
        {
            FindPath(path);
        }

    }
}

控制点控制的是曲线的弯曲程度
精度就是那个List的长度越长越精确计算量越大
速度就是移动到每一个点的速度（也是遍历速度）

image.png

这个要运行后勾选才可以动因为一运行就动会卡顿一下看着不爽就麻烦点改为手动控制开始移动

但是有一个问题他们移动时间是固定的在除了两球距离其他不变的情况下两个球距离越短就看起来速度越慢两球距离越长速度就越快

然后开始优化
根据长度自动设置区间（这个要找自己适应的规律）控制最高点的球自动设置到两球中央一定高度

using System.Collections;
using System.Collections.Generic;
using UnityEngine;
/// 
/// 二次贝塞尔函数工具类
/// 
public class BezierUtils 
{
    /// 
    /// 根据T值，计算贝赛尔曲线上面对应的点
    /// 
    /// T值
    /// 起始点
    /// 控制点
    /// 目标点
    /// 根据T值计算出来的贝赛尔曲线
    /// (1-t)2P0+2(1-t)tP1+t2P2
    static Vector3 CalculateCubicBezierPoint(float t, Vector3 p0, Vector3 p1, Vector3 p2)
    {
        float u = 1 - t;
        float tt = t * t;
        float uu = u * u;

        Vector3 p = uu * p0;//(1-t)2P0
        p += 2 * u * t * p1;//2(1-t)tP1
        p += tt * p2;//t2P2

        return p;
    }
    /// 
    /// 获取一个贝赛尔曲线点的数组
    /// 
    /// 起始点
    /// 控制点
    /// 目标点
    /// 采样点的数量 精度
    /// 一个贝赛尔曲线的数组
    public static List GetBeizerList(Vector3 startPoint, Vector3 contiolPoint, Vector3 endPoint)
    {
        //计算所合适的区间数 优化远近差值速度 根据自身情况找规律设置 我的是按2D屏幕坐标左到右 从上到下
        var segmentNum =15+ (int)(Mathf.Abs(endPoint.x - startPoint.x) * 0.02f) +(int)(Mathf.Abs(endPoint.y - startPoint.y) * 0.02f);


        List path = new List();
       // Vector3[] path = new Vector3[segmentNum];
        //若长度为5 采样点为 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5k
        for (int i = 1; i <= segmentNum; i++)
        {
            float t = i / (float)segmentNum;
            Vector3 pixel = CalculateCubicBezierPoint(t, startPoint, contiolPoint, endPoint);
            path.Add(pixel);           
           // Debug.Log(path[i - 1]);
        }
        return path;
    }

    /// 
    /// 获得他们中心点向上一定距离的点 只适用2D
    /// 
    /// 
    /// 
    /// 
   public static Vector3 GetControlPoint(Vector3 startPoint, Vector3 endPoint, float dValue)
    {
        Vector3 p1 = startPoint;
        Vector3 p2 = endPoint;
        //向量p1p2
        Vector3 p1p2 = (p2 - p1);
        Debug.Log(p1p2);
        //求中心开始向量和结束向量的一半向量
        Vector3 halfP1P2 = p1 + p1p2 * 0.5f;    
        //求他们的旋转向量的方法 把向量p2p1以Z轴旋转90度 如果end在start左边就p1p2为负数改变方向
        Vector3 pVertical = Quaternion.AngleAxis(90, Vector3.forward*p1p2.normalized.x) * p1p2;
        //那么中心点坐标为从一半开始的向量 加上pVertical的方向乘上长度
        Vector3 controlPoint = halfP1P2 + pVertical.normalized * dValue;
        return controlPoint;
    }
}

using System;
using System.Collections;
using System.Collections.Generic;
using UnityEngine;

public class TestBezier : MonoBehaviour
{
    public Transform targe3;
    [Header("开始目标")]
    public Transform targe1;
    [Header("控制点高度")]
    public float hight;
    [Header("终点目标")]
    public Transform targe2;
    [Header("速度")]
    public float speed = 1;
    float t;
    [Header("是否开始移动")]
    public bool isMove = false;//手动控制
    List path;

    void Awake()
    {
        var controlPoint = BezierUtils.GetControlPoint(targe1.position,targe2.position,hight);
        targe3.position = controlPoint;
        path = BezierUtils.GetBeizerList(targe1.position, controlPoint, targe2.position);
    }
    /// 
    /// 寻路模拟
    /// 
    /// 
    public void FindPath(List path)
    {
        t += Time.deltaTime;
        if (t >= speed)
        {
            t = 0;
            if (path != null && path.Count > 0)
            {
                var startPos = path[0];            
                targe1.transform.position = startPos;
                path.Remove(startPos);
            }
        }
    }
   
    // Update is called once per frame
    void Update()
    {
        if (Input.GetKeyDown(KeyCode.Space))
        {
            isMove = true;
        }
        if (isMove == true)
        {
            FindPath(path);
        }

    }
}

按空格开始这样距离远近速度就更平缓中心点按高度设置不过只能在两者中点
我觉得高度100 速度0.01就差不多

GIF.gif

这个是项目源码
https://github.com/1004019267/SecondOrderBezier/tree/master

Unity 中贝赛尔曲线的应用

数学原理

Unity应用

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