妙用直线系求直线方程

类型一 平行直线系方程在解题中的应用

平行直线系方程在解题中的应用

解题步骤：

第一步 首先设出与直线：（,不同时为）平行的直线系方程为：；
第二步 根据已知条件求出其结果.

例1. 已知直线，且，直线被，截得的线段长为，求直线的方程.

【答案】直线方程为：或.

【解析】

分析：本题是已知两直线平行和其中一条直线方程求直线方程问题，可用平行直线系求解.

解析：设，直线到直线所处的角为，直线，间的距离为，

由题知，，，

由到角公式得，

，，

由平行线间距离公式得，

解得或，

直线方程为：或.

【总结】对于已知两直线平行和其中一条直线方程求另一直线方程问题，常用平行直线系法，以简化计算.本题也可以由两直线平行斜率相等求出所求直线斜率，把所求直线方程设成点斜式，再利用点到直线的距离公式列出关系式求解.

类型二 垂直直线系方程在解题中的应用

垂直直线系方程在解题中的应用

解题步骤：

第一步 首先设出与直线：（,不同时为）垂直的直线系方程为：；
第二步 根据已知条件求出其结果.

例2. 已知直线是曲线的一条切线且与直线垂直，求直线的方程.
【解析】
分析：本题是已知两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题，可用垂直直线系法.

解析：设：，由

消去得，

由与曲线相切得，

解得，

所以直线的方程

【总结】对已知两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题，常用垂直直线系法，可以简化计算.本题设出切点坐标，用导数求出切线斜率，利用切线与已知直线垂直，列出关于切点横坐标的关系式，求出切点横坐标，写出直线方程.

类型三 过定点直线系方程在解题中的应用

过定点直线系方程在解题中的应用

解题步骤：

第一步 首先设出过定点的直线系方程：（,不同时为）；

第二步 根据已知条件求出其结果.

例 3 求过点且为圆的切线的方程．
【解析】
分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法.

解析：设所求直线的方程为（其中，不全为0），

整理得，

因为直线与圆相切

所以圆心到直线的距离等于半径

故，

整理得，即（这时）或（这时）

故所求直线的方程为或

【点评】对求过定点的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方程为: ，注意的此方程表示的是过点的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．

类型四 过两直线交点的直线系方程在解题中的应用

过两直线交点的直线系方程在解题中的应用

解题步骤：

第一步 首先设出过直线（，不同时为）与（，不同时为）交点的直线系方程为：（，为参数）；

第二步 根据已知条件求出其结果.

例4 求过直线：与直线：的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.
【解析】
分析：本题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解.

解析：设所求直线方程为：，

当直线过原点时，则，则

此时所求直线方程为：；

当所求直线不过原点时，

令，解得，

令，解得，

由题意得

解得

此时，所求直线方程为：

综上所述，所求直线方程为：或.