第十四讲 无穷级数

有两种无穷级数：常数项级数和幂级数

常数项级数

• 级数的概念和敛散性
  概念：给定一个无穷数列，将其各项用加号连起来得到的记号
  称其为无穷级数，简称级数，其中叫做该级数的通项。
  若是一个常数而不是函数，那么称其为常数项无穷级数，简称常数项级数。
  部分和：就是在无穷数列中取n项求和，称为部分和
  有了部分和，就可以使用极限来求无穷项和：1.写出部分和；2.写成部分和表达式后求极限。
  敛散性：如果，则收敛，并称为该收敛级数的和；而如果不存在或为，则称发散

例题
判断几何级数(也称等比级数)

的敛散性，其中
解：
i. 当时，
ii. 当时，不存在
iii. 当时，不存在
当时，奇数项部分和等于a，偶数项部分和等于1，不存在

• 性质：
  性质1：若级数均收敛，且其和分别为，则任给常数，有：
  
  这个性质称为收敛级数的线性性质。
  m项后余项：去掉级数的前m项，将得到de的称为该级数的m项后余项
  性质2：如果级数收敛，则其任意m项后余项也收敛；反之，如果存在m项后余项收敛，则也收敛
  性质3：
  如果收敛，则，这个性质是级数收敛的必要条件

证明
由于，故

• 正项级数敛散性的判别方法
  正项级数：若通项，则称为正项级数

1. 正项级数的收敛原则：正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列{}有界
   所以判断正项级数敛散性的方法一般是对其部分和进行一个放缩，然后再做进一步的判断

例题1：
判断级数的敛散性

故
故{}无界
级数发散
例题2：
判断级数的敛散性



故{}有界
级数收敛

2. 比较判别法：给出两个正项级数和，如果从某项起有成立，则
   1.若收敛，则也收敛
   2.若发散，则也发散

例题
判断级数的敛散性
由基本不等式得，

所以级数的部分和为


故级数发散
而
故级数也是发散的

3. 比较判别法的极限形式
   一般的比较判别法通常是使用不等式来对级数进行放缩，但是这种方法存在一定的局限性。
   而比较判别法的极限形式作为比较判别法的一个推论，有着更大的应用范围
   前面提到过，级数收敛的必要条件是，所以可以通过比较两个无穷小的阶来使用比较判别法：
   给定两个正项级数和，且，则
   1.若A=0，则当收敛时，也收敛
   2.若A=+，则当发散时，也发散
   3.若0

例题
判断级数的敛散性

因为是p=3的p级数，故级数是收敛的
故级数也是收敛的

4. 比值判别法(也称达朗贝尔判别法)
   给定一个正项级数，如果，则
   
   若则这个方法失效
   比值判别法一般用于通项表达式中有或者的情况

例题
判断级数的敛散性，其中a为非零常数
记
则




i. 当时，该级数发散
ii. 当时，该级数收敛
iii. 当时

记，则




故数列{}是单调增加趋向于e
即
因此


故当|a| = e时，该级数发散

5. 根值判别法(也称为柯西判别法)
   给出一个正项级数，设，则
   1.
   2.
   和比值判别法一样，当时，该方法失效
   根值判别法一般用于或者的情况

例题
判别级数的敛散性
记，则





故该级数是收敛的

• 交错级数敛散性判别方法
  交错级数：若级数各项正负相间出现，称这样的级数为级数为交错级数，一般写为：
  
  交错级数只有一种判别方法，称为莱布尼茨判别法
  莱布尼茨判别法：给出一个交错级数，若{}单调不增且则该级数收敛
  

例题1：判断级数的敛散性


故该级数收敛
例题2：
判断级数的敛散性，其中a为非零常数
此题需要用到一个公式




记
则

故该级数收敛

• 任意项级数的敛散性判别
  对任意项级数的敛散性判别并没有一个独立的判别方法
  绝对收敛：设为任意项级数，若收敛，则称绝对收敛
  条件收敛：设为任意项级数，若收敛，但发散，则称条件收敛
  定理1：若任意项级数绝对收敛，则收敛
  定理2：收敛级数的项任意加括号后所得的新级数仍收敛，且其和不变
  定理3：若原级数绝对收敛，不论将其各项如何重新排列，所得的新级数也依然绝对收敛，且其和不变。即绝对收敛的级数具有可交换性。

例题
如果常数项级数收敛，则下列级数必然收敛的是
A.
B.
C.
D.
解：
选项A，设，则，为发散的广义p级数
选项B，设，则，为发散级数
选项C，设，则，为发散级数
选项D，，依然收敛
故，答案选D

幂级数

• 幂级数及其收敛域
  函数项级数：设函数列{}在定义区间上，称
  
  为定义在区间上的函数项级数，记为，当取固定值时，函数项级数变为常数项级数
  幂级数：若的一般项是n次幂函数，则称为幂级数，它是一种特殊且常用的函数项级数
  其一般形式为：
  
  其标准形式为：
  
  其中为幂级数的系数
  收敛点与发散点：若给定，有收敛，则称点为该级数的收敛点；若给定，有发散，则称点为该级数的发散点。
  收敛域：函数项级数的所有收敛点的集合称为它的收敛域
• 收敛域的求法
  对于标准幂级数，其收敛域求法为：
  1.设，则的收敛半径R的表达式为
  
  则开区间为幂级数的收敛区间；
  2.单独考察幂级数在处的敛散性从而确定其敛散域
  对于一般幂级数，其收敛于求法为：
  1.令或
  解上列不等式得到区间，称该区间为此幂级数的收敛区间
  2.单独考察和处的敛散性，从而给出完整的收敛域

例题（标准幂级数的收敛域）
求幂级数的收敛域

故收敛区间为(-1,1)
当x=1时，该幂级数为，为发散的
当x=-1时，该幂级数为，为收敛的
故收敛域为[-1,1)

• 抽象型问题
  结论1：根据阿贝尔定理，已知在某点的敛散性，则可以分以下三种情况来判断该幂级数的收敛半径：
  1.若在处收敛，则收敛半径
  2.若在处发散，则收敛半径
  3.若在处条件收敛，则收敛半径
  结论2：已知的敛散性信息，要求讨论的敛散性
  对于与的转化，一般通过初等变形来完成，包括平移收敛区间；提出或者乘以因式等
  对于与之间的转化，一般通过微积分变形来完成，包括对级数逐项求导；对级数逐项积分等
  在以下三种情况下，收敛半径不会改变，而收敛域则需要具体问题具体分析
  1.对级数提出或者乘以因式，或者作平移等，收敛半径不变
  2.对级数逐项求导，收敛半径不变，收敛域可能缩小
  3.对级数逐项积分，收敛半径不变，收敛域可能扩大

例题
设在点处条件收敛，求幂级数在点处的敛散性。
解
对于级数其收敛半径为，收敛中心为
所以其收敛区间为
现对其进行平移，得到，其收敛区间为
再对级数进行求导，得到，其收敛区间依然为
最后再乘以因式，得到，其收敛区间为
因为
故该级数在处绝对收敛

• 幂级数求和函数
  在收敛域上，记，并称为的和函数
  和函数的运算法则：若幂级数与的收敛半径分别为，则
  1.，k为常数
  2.两个幂级数相加满足：
  
  两个幂级数相加必须满足其下标相同，并且次数也相同；
  如果出现不满足条件的情况，则可以通过下面三种变换使其满足相加的条件：
  1.通项、下标一起变：
  2.只变下标不变通项：
  3.只变通项不变下标：

例题：将写成通项和的形式

和函数的性质：

1. 和函数在其对应幂级数的收敛域上连续
2. 和函数在其对应幂级数的收敛域上可积，且有逐项积分公式
   
   逐项积分后所得到的幂级数与原来的级数有着相同的收敛半径，但是收敛域可能会扩大
3. 和函数在其对应幂级数的收敛域上可导，且有逐项求导公式
   
   逐项求导后所得到的级数和原来的级数有着相同的收敛半径，但是收敛域可能会缩小

例题1
求的和函数
最容易想到的展开公式是
所以需要对其进行变形，使其能够使用上面的展开式
显而易见，如果对通项进行一次逐项求导就能对其使用展开公式，但是为了使原式不变，还需要对其积分，所以最容易想到的方法是

所以这里要使用定积分


令，则

例题2
求级数的和函数
同样的，需要对其进行变形使其能够使用展开公式

可以直接使用先积分后求导的方法进行变形，即

令，则

• 函数展开成幂级数
  泰勒级数：如果函数在处存在任意阶导数，则称
  
  为函数在处的泰勒级数
  特别地，当时，称这个级数为麦克劳林级数
  如果该级数收敛，则
  求一个函数的幂级数有两种：
  一种是直接按照公式进行计算，这种方法太麻烦，一般不用
  另一种方法是利用已知的幂级数展开式，通过变量代换、四则运算、逐项求导、逐项积分和待定系数等方法得到函数的展开式

例题
求函数在处的幂级数展开
由于常用的展开公式中并没有的展开，所以需要进行一定的处理



故


由于的收敛域为
所以此函数展开的幂级数的收敛区间为，然后讨论端点的敛散性
当时，，是一个收敛的交错级数
当时，，同样是一个收敛的交错级数
故此级数的收敛域为