卡尔曼滤波中，噪声非“白”及防止发散的方法

这是关于卡尔曼滤波系列的第三篇笔记。笔记内容不按照算法学习的顺序来，所以这不是一个教程，而是对待某一特定问题的解决方法探讨。
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噪声非“白”的应对措施

在卡尔曼滤波的使用条件里，明确说明了噪声是白噪声、互不相关时才能达到预定的滤波效果。如果噪声不是白噪声呢？那就要采取一定的措施了。具体的，需要分两类情况：状态噪声有色、观测噪声有色。

状态噪声有色

此时一般考虑将状态量增维，一个最常用的噪声白化的方法。有一个例子，一看就明白，但是公式打起来太麻烦了，先用照片，后面再手打。

观测噪声有色

当观测噪声有色时，如果再用增维的方法将观测量增维，最后会形成$Z_k=(H_{k}I)X_k^a$的形式，即在形式是不存在观测噪声的量了，也就是说R为0 ，将会导致增益K求不出来（详细的去看K的求解步骤）。所以将观测量增维是行不通的。
我一般遇到这种情况就不去管它了，反正观测量的噪声一般都很接近白噪声。如果真的想解决，参考各种噪声白化的方法，提前处理一下观测值吧。

防止滤波发散的方法

滤波时往往因为一些原因，会导致结果发散，通常原因分为两种：模型有误差、计算有误差。

模型有误差

模型有误差时可以通过加大当前观测值的占比来解决。常见方法有：衰减记忆法（通过改变P来间接改变Q和R，使滤波时越旧的数据所占权重越低，强迫系统更看重新的数据）、限定记忆法（正常的KF对观测量的记忆是无限的，此方法使系统只记住最近的几个观测量，以提高当前测量值的权重占比）。

计算有误差

计算误差通常用为每一步小误差的累积导致的，这些误差本身很小，其实没什么，但累积起来以后容易使P失去非负定性，影响K的求取。
常见的迫使P非负定方法有：平方根滤波和UD分解法。平方根滤波法把P拆成$\Delta {\Delta }^T$其中$\Delta$是上三角矩阵或下三角矩阵；UD分解法把P拆成$UD{U}^T$。每次迭代时不直接改变P，使P经过间接计算后一定是非负定的。