逆矩阵的概念、应用和求解

目录

逆矩阵的概念

求解逆矩阵

应用例子

可能没有逆矩阵

求解逆-方法1：初等行运算（高斯－若尔当）

求解逆-方法2：余子式、代数余子式和伴随

求解逆-方法3：程序库

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逆矩阵的概念

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矩阵运算中，是没有除法的，也就是不能除以一个矩阵，这时就需要逆矩阵了。

注意：矩阵一定是方正（行和列的数目相同），才能有逆矩阵。

假设知道矩阵 A 和 B，而需要求矩阵 X：

这里不能除以矩阵A（X=B/A），但是可以每边都乘以  ：

因为 A = I （I 是单位矩阵），所以：

最后得出 ：

 

求解逆矩阵

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逆矩阵求解公式：

调换 a 和 d 的位置，把 负号放在 b 和 c 前面，然后除以矩阵的行列式（ad-bc）。

 

应用例子

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题目：一帮人坐公交车，车费是小孩￥3，大人￥3.2，总共是￥118.4。回程他们搭地铁，车费是小孩￥3.5，大人￥3.6，总共是￥135.2。请问几个小孩和几个大人？

解：设小孩 x1个，大人x2个。

先求左侧矩阵的逆：

得出结果：

 

答：16个小孩，22个大人。

 

可能没有逆矩阵

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如果矩阵的行列式为零，这时就没有逆矩阵。如：

这种矩阵叫 "降秩矩阵"，就是行列式为零的矩阵。

从该矩阵看出，第二行是第一行的两倍（或n倍），它们的行列式一定是零，这并没有提供新的信息或特征。

如上面的例子中，如果地铁的车费全是比公交车贵一半，我们便不能找出大人和小孩的分别。一定要有某些信息或特征来区别他们的不同，才可以算出小孩和大人的数量。

 

求解逆-方法1：初等行运算（高斯－若尔当）

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计算 2x2 矩阵的逆是很容易的，但是计算更大的矩阵就比较复杂了。

这里介绍一种求解大矩阵的逆的方法：初等行运算（高斯－若尔当）。求解方法：

把矩阵 A 和 单位矩阵 I 放到一起，然后通过运算把 A 变成 I，这时 I 就变成了 。

例子：求 A 的逆矩阵。解：

直观理解该方法：

 

求解逆-方法2：余子式、代数余子式和伴随

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余子式、代数余子式和伴随来求逆矩阵，计算过程比较繁琐。有以下步骤：

1、求余子式矩阵

2、转成代数余子式矩阵

3、转成伴随矩阵

4、乘以 1/行列式

例子：求 A 的逆矩阵。解：

余子式矩阵（计算行列式）：

代数余子式矩阵（加入相隔正负号）：

转成伴随矩阵（转置）：

乘以 1/行列式：

矩阵A的行列式 = 3×2 - 0×2 + 2×2 = 10

 

求解逆-方法3：程序库

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1、使用 Octave 中的 pinv(A)。

2、使用 Python 中 numpy.linalg.inv(A)。