【算法】【动规】双数组系列问题

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4.1 最长公共子序列

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给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。
一个字符串的 子序列
是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。
例如，“ace” 是 “abcde” 的子序列，但 “aec” 不是 “abcde” 的子序列。 两个字符串的 公共子序列
是这两个字符串所共同拥有的子序列。

1. 状态表示
   • dp[i][j] 表示，text1 的 [0, i] 区间和 text2 的 [0, j] 区间中，的最长公共子序列的长度
2. 状态转移方程

   • 分析 i 和 j 位置，如果字符相等，那么其区间中的最长公共子序列一定可以以这个字符为结尾；如果不等，再分情况讨论

     dp[i][j] 的值有如下情况需要考虑：
     text1[i] == text2[j], dp[i-1][j-1] + 1;
     text1[i] != text2[j], 对如下值取 max：
     									dp[i-1][j]
     									dp[i][j-1]
     									dp[i-1][j-1] // 实际上这个情况已经被头两种包含了，可以不用写
     

3. 初始化
   • 需要考虑 i-1、j-1 的越界情况，我们可以对空串进行设置，可以有效的防止越界
   • 这里在二维数组的前面多加一行和一列，分别表示两个数组为空串时候的 dp 值
     • 注意访问原数组时的对齐
   • 将空串也作为公共子序列，把多加的一行和一列都初始化为 0
4. 填表顺序
   • 从上往下填写每一行，每行从左往右填写
5. 返回值
   • dp[text1.size()][text2.size()]，表的最右下角的值。

代码如下：

class Solution {
public:
    int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
        int n1 = text1.size() + 1;
        int n2 = text2.size() + 1;
        text1 = "-" + text1;
        text2 = "-" + text2;

        vector<vector<int>> dp(n1, vector<int>(n2));
        for(int i = 1; i < n1; i++)
            for(int j = 1; j < n2; j++)
                if (text1[i] == text2[j]) 
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
                else 
                    dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);

        return dp[n1-1][n2-1];
    }
};

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4.2 不相交的线

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在两条独立的水平线上按给定的顺序写下 nums1 和 nums2 中的整数。

现在，可以绘制一些连接两个数字 nums1[i] 和 nums2[j] 的直线，这些直
线需要同时满足满足：
nums1[i] == nums2[j] 且绘制的直线不与任何其他连线（非水平线）相交。
请注意，连线即使在端点也不能相交：每个数字只能属于一条连线。

以这种方法绘制线条，并返回可以绘制的最大连线数。

状态表示

• dp[i][j] 表示，text1 的 [0, i] 区间和 text2 的 [0, j] 区间中，的最大连线数

略…（这一题和 4.1 根本是一样的，不交叉的连线不就是公共子序列嘛）

代码如下：

class Solution {
public:
    int maxUncrossedLines(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        int n1 = nums1.size() + 1;
        int n2 = nums2.size() + 1;
        vector<vector<int>> dp(n1, vector<int>(n2));
        for(int i = 1; i < n1; i++)
            for(int j = 1; j < n2; j++)
                if (nums1[i-1] == nums2[j-1]) 	// 访问原数组的时候注意一下位置
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
                else 
                    dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);

        return dp[n1-1][n2-1];
    }
};

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4.3 不同的子序列(hard)

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给你两个字符串 s 和 t ，统计并返回在 s 的 子序列 中 t 出现的个数，结果需要对 10⁹ + 7 取模。

这一题 hard 在状态表示…

1. 状态表示
   • dp[i][j] 表示，s 的 [0, i] 区间中有多少个子序列，满足和 t 的 [0, j] 区间的子串相同
2. 状态转移方程

   • 分析区间内的 s 和 t 串，这里如果 s[i] 算作子序列的结尾 dp 是一种情况，如果 s[i] 不算作子序列的结尾 dp 又会是另一种情况，而最终这里的 dp 值应该是这两种情况相加。

     dp[i][j] 的值有如下情况需要考虑：
         s[i] 算作结尾，而且 s[i] == t[j], dp[i-1][j-1]
         s[i] 不算作结尾, dp[i-1][j]
     条件满足的情况下：dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]
     

3. 初始化
   • 需要考虑 i-1、j-1 的越界情况，我们可以对空串进行设置，可以有效的防止越界
   • 这里在二维数组的前面多加一行和一列，分别表示两个数组为空串时候的 dp 值
     • 注意访问原数组时的对齐
   • 将空串也作为公共子序列，dp[i][0] 位置都置 1，意思是 t 为空串的时候 s 最少也包含这一个空串
   • 在 for 循环的时候初始化即可
4. 填表顺序
   • 从上往下填写每一行，每行从左往右填写
5. 返回值
   • dp[s.size()][t.size()]，表的最右下角的值。

代码如下：

class Solution {
public:
    int numDistinct(string s, string t) {
        int n1 = s.size() + 1;
        int n2 = t.size() + 1;
        vector<vector<double>> dp(n1, vector<double>(n2));
        dp[0][0] = 1;
        for(int i = 1; i < n1; i++)
        {
            dp[i][0] = 1;
            for(int j = 1; j < n2; j++)
                dp[i][j] = (s[i-1] == t[j-1]) ? 
                    dp[i-1][j] + dp[i-1][j-1] : 
                    dp[i-1][j];
        }
        return dp[n1-1][n2-1];
    }
};

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