第19课 函数

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前言

函数是完成某种功能的程序段，是程序模块化的体现。对于一个复杂的问题，可以将其分解成若干个子问题来解决，如果子问题依然很复杂，还可以将它继续分解。直到每个子问题都是一个具有独立任务的模块。以这种方式编写的程序结构清晰，逻辑关系明确，会给编写、阅读、调试以及修改带来很多好处。
一个程序可以有许多函数，包括主函数和非主函数，主函数只能有一个，非主函数可以有多个。主函数自动执行，非主函数只有被调用时才会执行。程序从主函数开始执行到主函数结束而结束，主函数可以调用任何非主函数，非主函数之间可以互相调用，但不能调用主函数。函数调用过程中，调用其他函数的函数叫作主调函数，相应的被调用的函数叫作被调函数。
提示
主函数和主调函数是不同的。主函数特指 main ()函数，主调函数是指调用其他函数的函数。主调函数可以是主函数，也可以是非主函数。

一、函数的定义与声明

二、函数的调用与返回

三、函数的嵌套与递归

1. 函数的嵌套

2. 函数的递归

函数的递归调用是指函数自身调用自身，这是一类特殊的函数嵌套。
递归函数的一般格式

数据类型 函数名(形参列表) {
    if<递归结束条件> return 返回值;
    else return 函数名(形参该变量) 
}

例如

long long factor(int n) {
	if(n==0) return 1;
	else return n*factor(n-1);
}

构成递归需要具备两个条件：

• 必须有结束条件和结束值
• 参数该变量使参数向结束条件发展

1. 求n！

非递归的一般实现代码。

long long factorial(int n) {
	long long s=1;
	for(int i=1; i<=n; i++) {
		s *= i;
	}
	return s;
}

递归方式的代码。

long long factorial(int n) {
	if(n==0) {
		return 1;
	}
	else {
		return n*factorial(n-1);
	}
}

下面是factorial(2)，即当实参为2时的递归调用过程：

1. main()调用factor(2)时，main()暂停，进入factor(2)；
2. 执行factor(2)中的return 2*factor(2-1)时， factor(2)暂停，调用factor(1)；
3. 执行factor(1)中的return 1*factor(1-1)时， factor(1)暂停，调用factor(0)；
4. 执行factor(0)中的return 1;语句， factor(0)返回值1，回退至factor(1)调用处；
5. 执行factor(1)中的return 1*1时， factor(1)返回值1，回退至factor(2)调用处；
6. 执行factor(2)中的return 2*1时， factor(2)返回值2，返回至main()调用处。

图1是当n==5时的递归过程。

图1 递归求5！

2. Hanoi（汗诺）塔问题

Hanoi （汉诺）塔问题。这是一个古典的数学问题，是一个用递归方法解题的典型例子。问题是这样的：古代有一个梵塔，塔内有3个座 A 、 B 、 C ，开始时 A 座上有64个盘子，盘子大小不等，大的在下，小的在上（图2)。有一个老和尚想把这64个盘子从 A 座移到 C 座，但每次只允许移动一个盘，且在移动过程中在3个座上都始终保持大盘在下，小盘在上。在移动过程中可以利用 B 座，要求编程序输出移动的步骤。

图2 Hanoi（汗诺）塔问题

为便于理解，先分析将 A 座上3个盘子移到 C 座上的过程：
1 将 A 座上2个盘子移到 B 座上（借助 C );
2 将 A 座上1个盘子移到 C 座上；
3 将 B 座上2个盘子移到 C 座上（借助 A )。

图3 将 A 座上2个盘子移到 B 座上（借助 C )

图4 将 B 座上2个盘子移到 C 座上（借助 A )

其中第2步可以直接实现。第1步又可用递归方法分解为：
1.1 将 A 上1个盘子从 A 移到 C ;
1.2 将 A 上1个盘子从 A 移到 B ;
1.3 将 C 上1个盘子从 C 移到 B 。
第3步可以分解为：
3.1 将 B 上1个盘子从 B 移到 A 上；
3.2 将 B 上1个盘子从 B 移到 C 上；
3.3 将 A 上1个盘子从 A 移到 C 上。
将以上综合起来，可得到移动3个盘子的步骤为：
A→C, A→B, C→B, A→C, B→A, B→C, A→C.
共经历7步。由此可推出：移动n个盘子要经历$2^n-1$步。如移4个盘子经历15步，移5个盘子经历31步，移64个盘子经历$2^{64}-1$步。

由上面的分析可知：将n个盘子从A座移到C座可以分解为以下3个步骤：
(1) 将A上 n-1个盘借助C座先移到B座上；
(2) 把A座上剩下的一个盘移到C座上；
(3) 将n-1个盘从B座借助于A座移到C座上。
上面第(1)步和第(3)步，都是把n-1个盘从一个座移到另一个座上，采取的办法一样的，只是座的名字不同而已。为使之一般化，可以将第(1)步和第(3)步表示为：将“one”座上n-1个盘移到“two”座（借助“three”座）。只是在第(1)步和第(3)中，one、two、three 和A、B、C的对应关系不同。对第(1)步，对应关系是one对应A，two对应B，three对应C。对第(3)步，是：one对应B, two对应C, three对应A。
因此，可以把上面3个步骤分成两类操作：
（1）当n==1时，直接将1个盘子从一个座上移到另一座上。
（2）当n>1时，将n-1个盘从一个座移到另一个座上。它是一个递归的过程（又可以拆分成3大步骤）。

下面编写程序，分别用两个函数实现以上的两类操作。

• 函数调用hanoi(n, p1, p2, p3）表示将n个盘子从p1座移到p3座的过程（借助p2座）；
• 函数调用move(n, from, to）表示将1个盘子从 from座移到to座的过程。 from、to是代表 A、B、C 座之一，根据每次不同情况分别取A、B、C 代入。

对应的函数定义如下。

void move(int no, char from, char to) {
	cout << "将" << no << "号盘子从" << from << "移动到" << to << endl;
}

// 将n个碟子从p1挪动到p3, p2是中间的柱子
void hanoi(int n, char p1, char p2, char p3) {
	if(n==1) {
		move(n, p1, p3);
	} else {
		//将p3看作中间柱子，将n-1个碟子从p1移动到p2
		hanoi(n-1, p1, p3, p2);
		//将编号为n的盘子从p1移动到p3
		move(n, p1, p3);
		//将p1看作中间柱子，将n-1个碟子从p2移动到p3
		hanoi(n-1, p2, p1, p3);
	}
}

① 将n-1个盘子从A移动到B

图5 将n-1个盘子从A移动到B

② 将编号为n的盘子从A移动到C

图6 将编号为n的盘子从A移动到C

③ 将n-1个盘子从B移动到C

图7 将n-1个盘子从B移动到C

步骤①③ 明显是个递归调用

所以，Hanoi（汗诺）塔问题完整的递归实现代码如下。

#include
using namespace std;

void move(int no, char from, char to) {
	cout << "将" << no << "号盘子从" << from << "移动到" << to << endl;
}

//将n个碟子从p1挪动到p3, p2为中间的柱子
void hanoi(int n, char p1, char p2, char p3) {
	if(n==1) {
		move(n, p1, p3);
	} else {
		//将p3看作中间柱子，将n-1个碟子从p1移动到p2
		hanoi(n-1, p1, p3, p2);
		//将编号为n的盘子从p1移动到p3
		move(n, p1, p3);
		//将p1看作中间柱子，将n-1个碟子从p2移动到p3
		hanoi(n-1, p2, p1, p3);
	}
}

int main() {
	hanoi(3, 'A', 'B', 'C');
	return 0;
}

当n==3时，程序输出如下。

将1号盘子从A移动到C
将2号盘子从A移动到B
将1号盘子从C移动到B
将3号盘子从A移动到C
将1号盘子从B移动到A
将2号盘子从B移动到C
将1号盘子从A移动到C

四、局部变量与全局变量

1. 局部变量

• 局部变量是指在函数内部定义的变量。前面所有例题中的变量都是在函数内定义的，因此都是局部变量。
• 局部变量的作用域（即起作用的范围）是从定义点到函数结束，即局部变量只在定义它的函数内有效。
• 由于局部变量的作用域仅局限于本函数内，因此，在不同函数中局部变量名可以相同，它们分别代表不同的对象，互不干扰。

2. 全局变量

• 全局变量是指在函数外定义的变量。其作用域是从变量的定义点到程序结束，即从变量定义之后的所有函数都可以访问该全局变量。
• 全局变量和局部变量可以同名，但在局部变量的作用域内全局变量无效。
• 当全局变量没有初始化时默认初始值为0，局部变量没有初始化时默认初始值不确定。
• 由于全局变量的作用域可以覆盖整个程序，因此可以作为共享数据在不同函数中传递数据。在函数调用中，可以通过参数从主调函数向被调函数传递数据（实参传给形参），也可以通过返回值从被调函数向主调函数传递数据，但二者都是单向传递，即只能向一个方向传递数据。而全局变量既可以在主调函数中使用，又可以在被调函数中使用，实现了数据的双向传递。

阅读下面的代码，给出代码运行的结果。

#include
using namespace std;

int x, y;

int fun1(int s) {
	int x=10;
	y=x*s;
	return x+y;
}

int main() {
	int n;
	cin >> n;
	cout << "fun1(" << n << ")=" << fun1(n) << endl;
	cout << "x=" << x << ",  y=" << y << endl;
	return 0;
}

代码运行输出为

5
fun1(5)=60
x=0, y=50

五、课后练习

1. 求3个数的最小公倍数

#include
using namespace std;

int max(int x1, int x2, int x3) {
	if(x1>x2 && x1>x3) return x1;
	else if(x2>x1 && x2>x3) return x2;
	else return x3;
}

int main() {
	int x, y, z;
	int biggest, m, i=1;
	cin >> x >> y >> z;
	biggest = max(x, y, z);
	while(true) {
		m = biggest * i;
		if(m%x==0 && m%y==0 && m%z==0) break;
		i++;
	}
	cout << m << endl;
	return 0;
}

运行程序，输入
2 4 8
会输出
8

2. 求第5个人的年龄是多少

有5个人坐在一起，问第5个人多少岁？他说比第4个人大2岁。问第4个人岁数，他说比第3个人大2岁。问第3个人，又说比第2个人大2岁。问第2个人，说比第1个人大2岁。最后问第1个人，他说是10岁。请问第5个人多大。

显然，这是一个递归问题。
要求第5个人的年龄，就必须先知道第4个人的年龄，而第4个人的年龄也不知道，要求第4个人的年龄必须先知道第3个人的年龄，而第3个人的年龄又取决于第2个人的年龄，第2个人的年龄取决于第1个人的年龄。而且每一个人的年龄都比其前1个人的年龄大2。即：
age(5)= age(4)+2
age(4)= age(3)+2
age(3)= age(2)+2
age(2)= age(1)+2
age(1)=10
可以用数学公式表述如下：
$$age(n)=\{\begin{array}{ll}10& n=10\\ age(n-1)+2& n>1\end{array}$$
公式本身就是一个递归式，过程图示如图8所示：

图8 求第5个人的年龄

据此，可以直接给出C++的递归实现。

#include
using namespace std;

int age(int n) {
	if(n==1) return 10;
	else return age(n-1)+2;
}

int main() {
	int n=5;
	cout << age(n);	// 18
	return 0;
}

2. Hanoi（汗诺）塔问题

见前面相关内容。

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补充练习

1. 用自定义函数difference_abs(m,n)求两个数之差的绝对值

2. 用自定义函数matrix_max(m, n)求一个m*n阶矩阵中最大的元素值

3. 用函数递归的方式求斐波那契数列（Fibonacci sequence）的第20项

斐波那契数列数值为：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …在数学上，这一数列以如下递推的方法定义：F(0)=1, F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N），即
$$f(n)=\{\begin{array}{ll}0& n=0\\ 1& n=1\\ f(n-1)+f(n-2)& n>1\end{array}$$

4. 输出矩阵形式的杨辉三角——帕斯卡三角形

帕斯卡三角形，是一个三角形矩阵，其顶端是 1，视为(row0)。第1行(row1)(1&1)两个1，这两个1是由他们上头左右两数之和 (不在三角形内的数视为0)产生。依此类推产生第2行(row2): 0+1=1; 1+1=2; 1+0=1。第3行(row3): 0+1=1; 1+2=3; 2+1=3; 1+0=1。循此法可以产生其余行元素——即$(a+b{)}^n$的展开式中的各项系数（n=0表示杨辉三角的第0行row0）。

自定义函数YanghuiTriangle(a[][7])输出行数N=7的杨辉三角，如图9所示。

图9 输出的行数N=7的杨辉三角