1、为什么要学习报童模型？
除了餐饮行业，其实在各个行业都会遇到采购类决策。
比如在电子产品行业中，企业在正式上市一款新的电子产品之前需要决定生产数量。对于一款新产品，企业无法在产品正式上市之前，准确预测市场的需求有多大，所以在销售期间可能出现供给太多卖不出去，或者供给太少无法充分满足消费者需求的情况。
- 一方面，电子产品的迭代更新速度非常快，如果供给太多卖不出去，这些滞销产品的价值会迅速衰退。比如全球领先的网路解决方案供应商思科公司，在2001年生产的通讯网路设备数量大于市场需求，结果产品卖不出去，造成了思科不得不注销价值22.5亿美元的存货。
- 另一方面，如果供给太少货不够，因为很多电子产品的生命周期只有短短的数月，而采购、生产、运输等过程需要耗费数月的时间，所以没有办法及时补货， 只能眼睁睁看着潜在客户的流失。比如IBM公司在1994年设计生产的Aptiva Line计算机， 由于供给数量无法满足市场的需求， 结果造成了IBM损失了数百万美元的潜在利润。
而在很多制造业中，比如半导体制造业、航空制造业中，制造商在精准知道下游客户的市场需求之前就需要搭建厂房、设备和生产线，确定自己的生产供给能力，所以很可能在正式开始生产销售后出现产能过剩或者产能不足的情况。
- 一方面，如果产能过剩，就会造成制造商构建产能投资和生产能力的浪费。半导体行业就是个典型例子，在2002到2003年，很多半导体公司建立的产能远远大于客户的需求，结果造成了50%产能的浪费。
- 另一方面，如果产能不足，再加上企业很难在短时间立即扩大厂房，搭建额外的设备和生产线，所以这会造成制造商无法充分满足客户的需求，从而带来潜在利润的损失。比如波音的零件供应商由于产能不足，无法满足波音公司在1997年的大订单的需求，结果损失了潜在的商业机会。
这些实际例子说明在很多行业里，我们经常需要在需求数量随机变动，但又无法在这个产品的生命周期内及时补充供给的情况下提前决定供给数量。
在这节课我会给你介绍一个计算最优供给量的公式——报童模型，帮你在这种情况下找到最优供给量。
2、运用报童模型计算最优供给量
很多大公司在这种需求量随机，又不能补充供给的情况下，都会使用报童模型去确定最优供给量，包括国际知名的时尚服装公司、IT公司、传媒公司、电信公司以及电商、物流公司等等。
你可能会问，为什么计算最优供给量的公式，要叫做报童模型呢，这是因为刚才讲的这些问题，本质上跟报童卖报的逻辑是一样的。
一位报童，每天都要向报社预定第二天要卖的报纸的数量。但是报童在确定报纸订购数量的时候，并不知道第二天到底有多少人会买。而且，更重要的是，他也没有机会再去补货，所以必须提前预估最合适的订购数量。
那你要如何运用报童模型，找到最优供给量呢?现在，请你找到幻灯片上的计算公式。
这个公式代表了能使利润最大化的最优供给数量，其中a代表的是预估的平均需求量，b代表标准差，p代表销售价格，c是产品的生产或进货成本。
大家看到数学公式，千万不要觉得头疼，接下来我会先帮助大家理解这个公式。
第一，我们利用这个公式的一个假设是需求服从正态分布，也就是需求量越靠近平均值，这一需求量出现的概率就越大，这个假设在很多现实问题中都是得到验证和满足的。
第二，因为在做供给决策的时候需要考虑需求的不确定性，所以我们需要知道刻画需求不确定性的参数，就是标准差b。如果你对标准差不是很熟悉的话，你只需要知道这是用来刻画需求不确定性程度的就可以了，标准差越大，说明每天的需求量与平均值之间的差异越大。
我在延伸学习板块中放了一个能够在线计算标准差的网站网址，当你需要解决实际问题时，只需输入你得到的统计数据，就能得到标准差，非常方便。如果你希望进一步了解关于标准差的定义和使用，你可以参考参考一些统计学书籍。
第三，NORM.INV是Excel中计算正态分布概率分布反函数的一个公式。如果你不大理解什么是正态分布概率分布反函数没有关系， 你只需要知道拿这个公式在Excel中计算能够得到最优供给数量就可以了。
第四，这个公式得到的数值可能是一个小数，而不是整数。现实中的供给量很多时候要求是整数。这很好处理，你只需要把这个公式计算出的数值就近取个整数就可以了。
其次， 为了方便你直接使用这个公式去计算最优供给量， 我把这个模型编辑成了Excel文件， 你可以直接使用这个Excel文件， 计算最优供给量。这个小工具就放在你的课程延伸学习部分， 叫做“报童模型.xisx”。
打开文件后，你只需要在蓝色方框中输入需求平均值、标准差、销售价格和生产或进货成本这四个数值，在粉色方框中就会自动利用上面的报童模型，帮你计算出最优供给数量。
你可能会说，在现实场景里，你关心的不仅仅是最优供给数量，还想要知道在最优供给数量下，你到底能够获得多少利润，这些我也帮你想到了。
我把公式编辑在了“报童模型xs x"这个Excel文件里， 完成前面四个数值的输入之后， 你还能在紫色方框中， 得到最优利润数值。
下面，我们用课前思考里咖啡店的例子，去计算你的蛋糕最优订货数量和最优利润。假设蛋糕的每日需求的平均值是a=30， 标准差是b=10， 零售价p=20元， 进货价c=15元。把这些数字分别输入到“报童模型.xsx"这个文件的四个蓝色方框中，你就可以立即得出，最优的订货量是23份，在这个订货量下的最优利润是86.44元。
为了让你确信报童模型给出的公式确实能使利润最大化， 在“报童模型xsx"这个Excel文件中， 我还设立了两个绿色的方框。其中你可以在浅绿色的方框中输入任何一个供给量，在给定这个任意的供给量后，我在深绿色方框中为你设定的公式，就会自动帮你计算出这个供给量对应的利润。你可以看到，当你在浅绿色方框中输入除23以外的任意供给量，获得的利润都比报童模型计算出的利润要少。
细心的你可能已经发现了，在课前思考这个例子中，平均需求量是30，但是报童模型计算出的最优供给量却不等于需求的平均值30，而是远远小于这个数值，等于23。假如你在确定供给数量的时候没有考虑需求的不确定性，而是把供给数量定在需求的平均值30上面，你会发现在这种情况下你得到的利润是70.21元。这比最优供给量23对应的最优利润86.44元减少了大约20%。你可以亲自动手， 在Excel表格中试验一下。
这时候你可能会问了，为什么最优供给量居然可以偏离平均需求量呢?
背后的道理其实很简单。假如你的供给量正好等于你的平均需求量，那也就是有50%的可能性，实际供给量会小于实际需求量，同样，也有同样50%的可能性，实际供给量会大于实际需求量。
当供小于求的时候，每一个无法买到蛋糕的客户给你带来的潜在利润损失，都等于蛋糕的零售价20元减去进货价15元，也就是5元；当供大于求的时候，每一份无法卖出的蛋糕带给你的损失是进货价15元。因为供小于求和供大于求出现的可能性是一样的，并且供大于求给你带来的损失远远大于供小于求给你带来的损失，所以你会采取保守一些的决策，也就是少订一些蛋糕，从而确保订的蛋糕能够尽可能卖出去，宁愿少赚一些，也不要多赔。
聪明的你这时候可能会思考，在利用报童模型计算最优供给量的时候，有没有可能会出现最优供给量大于平均需求量呢?答案是，当然会。
下面咱们仍然用预订蛋糕的例子来说明，但是这次我们会对参数进行调整。
假如说，你打算选择另一个供应商，因为从这个供应商进货的价格是5元一份。也就是说，你可以打开“报童模型.xlsx"这个Excel文件， 把“生产或进货成本”对应的蓝色方框中的数字调整为5。这时候， 你会发现， 最优供给量变为了37份，大于之前30份的每天平均需求量。
这说明有时候最优供给量，是会大于平均需求量的。
假如你在确定供给数量的时候没有考虑到需求的不确定性，而是把供给数量定在需求的平均值30份之上，会发生什么呢?请你动手试一下， 当你把这个数字输入到“报童模型.xlsx”这个Excel文件中的浅绿色方框中的时候，你可以从深绿色方框中看到，在这种情况下你得到的利润是370.21元。这比最优供给量37对应的最优利润386.44元减少了约4%。
现在你肯定想知道，为什么当我们改变了蛋糕进货价格后，就会出现这样的结果呢?
背后的道理也不复杂。假如你的供给量正好等于你的平均需求量，那么你的蛋糕仍然有50%的可能性供小于求，也有同样50%的可能性供大于求。当供小于求的时候，每一个无法买到蛋糕的客户给你带来的潜在利润损失，就等于蛋糕的零售价20元减去进货价5元，也就是15元。当供大于求的时候，每一份无法卖出的蛋糕带给你的损失，就变成了进货价5元。
因为供小于求和供大于求出现的可能性是一样的，而供小于求给你带来的损失远远大于供大于求给你带来的损失，所以你会采取激进一些的决策，也就是多订一些蛋糕，从而确保尽可能满足更多顾客的需求，宁愿小赔，也不要放弃大赚的机会。
现在你可以看到，上面关于最优供给量和平均需求量之间关系的讨论，在现实中具有非常重要的意义。到目前为止，你应该已经领会到，当需求存在不确定性的时候，你做供给决策绝不能仅仅考虑需求的平均值，而忽路需求的不确定性。否则就很容易遭受重大而且没有必要的损失。
刚才为你介绍了如何利用报童模型计算产品的最优供给量。
下面，我为你进一步介绍如何使用报童模型在更复杂的实际环境中做供给决策。
3、更复杂的实际情况下应用“报童模型”
前面我们讨论的情况，只有一种产品，并且隐含了一个假设，也就是最优供给量是不超过生产供应上限的。而在很多实际情况中，很可能我们有多种产品，并且算出的最优供给量超过了产能的限制。这时候该如何决定每一款产品最优的供给量呢?
比如在服装行业里，服装品牌商在一个销售季里会销售专为本季设计的多款服装。而由于生产线设备、人员配备等限制，生产线能够生产的服装总量是有上限的，也就是这条生产线的产能。在面临产能这个约束的时候，服装品牌商需要在准确知道每一款服装需求之前决定，到底每一款服装该生产多少件才能使总利润最大化。
类似的问题在你开设的咖啡店的例子里也有可能存在。假如说你的咖啡店聘请了一名蛋糕师制作蛋糕。该蛋糕师设计了3种不同款式的蛋糕。你每天早上要决定当天蛋糕师制作每种蛋糕的数量。
因为一个人的时间精力有限，蛋糕师一天能够制作的蛋糕的总数是有限的。
所以，在同时面临每款蛋糕需求的不确定性和蛋糕师产能有限的约束下，你需要决定每种蛋糕每天制作多少才能让你每天的利润最大化。
下面，我从刚才给你介绍的报童模型出发，教你计算这种情况下每种产品的供给数量。
我们假设蛋糕师每天能够制作蛋糕的总数为14。三种蛋糕每天需求的平均值分别为11、7、5，需求的标准差分别为2、2、3。三种蛋糕的零售价分别为100元、150元、250元，制作成本分别为85元、90元、100元。
下面，我们分三步计算每种蛋糕的制作数量。
第一步，我们忽略所有蛋糕面临的共同的供给数量的约束，利用刚才讲过的报童模型的公式分别计算每一种蛋糕的制作数量。我们经过计算可以得出，三种蛋糕的制作数量分别为9、6、6。
第二步，我们来比较这个利用报童模型计算出的总的蛋糕制作数量和蛋糕师每天能够制作的总的蛋糕数量的大小关系。
这里分两种情况。
第一种情况，很简单，如果利用报童模型计算出的总的蛋糕制作数量小于等于蛋糕师每天能够制作的总的蛋糕数量，也就是不违反总的供给上限约束，那么说明报童模型计算得出的供给决策是可行的。因此，报童模型计算得出的每种蛋糕的供给数量就是最优的。到此为止，我们的分析就结束了。
第二种情况就不那么理想，如果利用报童模型计算出的总的蛋糕制作数量大于蛋糕师每天能够制作的总的蛋糕数量，也就是违反了总的供给上限约束，那么说明报童模型计算得出的供给决策是不可行的。在这种情况下，我们需要进入第三步去分析该如何调整供给量，从而使得所有产品总的供给数量不超过供给上限。
在咖啡馆这个例子里，利用报童模型计算出的总蛋糕制作数量是9+6+6=21，蛋糕师每天能够制作的总的蛋糕数量是14，所以我们必须进入第三步去调整一种或者多种蛋糕的供给量。
第三步，我们对第一步中利用报童模型计算出的供给量进行调整。理论上，你可以利用非常复杂深奥的数学方法找到最优答案，但是在现实中，这种方法太麻烦了，而且并不是所有人都能应用。因此，接下来我会教你一种现实中高效、可行并且效果非常好的方法。
这种方法要求你分别计算出三种不同的供给数量调整方案下，每种产品的供给数量以及所对应的总利润，然后比较哪种方案带来的总利润最大。
第一种方案叫做“等比例减产方案”。
这个方案要求你把每一种产品供给数量减少相同的比例，从而使得减少后所有产品供给总量恰好等于供给上限。这种方案简单、容易操作，并且自动保证了调整以后的总的供给数量刚好达到产能上限。
具体到咖啡店这个例子里，利用报童模型计算出的总的蛋糕制作数量21，但蛋糕师每天能够制作的总的蛋糕数量只有14。也就是说，我们必须把所有蛋糕的总的制作数量从21下调三分之一达到14。
在“等比例减产方案”中，我们需要做的就是把每一款蛋糕的生产数量都从报童模型计算的数值上减少三分之一。也就是从报童模型中计算出的制作数量，9、6、6，分别减少三分之一，到6、4、4。
第二种方案叫做“利润率优先方案”。
这种方案要求你先计算出每一种产品的利润率，也就是用销售价减去成本价，再除以销售价，从而得到的比率。然后对所有产品的利润率从高到低排列，从利润率最高的产品开始按照之前报童模型计算出的供给方案进行生产订货，直到达到总的供给上限为止。
这种方案的基本思想是把有限的供给资源优先分配给那些能够带来更高利润的产品。
具体到咖啡店这个例子里，我们首先计算得出三种蛋糕的利润率，分别为0.15、0.4、0.6。因此，确定供给量的优先顺序是从第三种蛋糕到第二种蛋糕到第一种蛋糕。
我们从优先顺序里排在第一位的第三种蛋糕开始。这款蛋糕的供给量是报童模型计算出的供给量，也就是6个。在给这款蛋糕分配完供给量后，我们的剩余供给量上限是14-6=8。
我们接下来看优先顺序里排在第二位的第二种蛋糕。这款蛋糕的供给量是报童模型计算出的供给量，也就是6个。在给这款蛋糕分配完供给量后，我们的剩余供给量上限是8-6=2。
我们接下来看优先顺序里排在第三位的第一种蛋糕。这款蛋糕通过报童模型计算出的供给量是9，但刚计算出的剩余供给量上限只为2，所以就只能供给2个。
到此为止，我们就完成了按照这种“利润率优先方案"对每一种蛋糕制作数量的分配。
第三种方案叫做“变异系数优先方案”
如果你不熟悉变异系数的话， 我先做一个简单的介绍。每一种产品需求的变异系数等于这种产品需求的标准差除以需求的平均值， 英语叫做Coefficient of Variation， 它刻画的是该产品需求的相对不确定程度，变异系数越小表示产品的需求相对不确定性越越小，变异系数越大表示产品的需求相对不确定性越大。
你可能会问了，之前我们不是已经用标准差去刻画需求求的不确定性了吗，为什么我们还要再把标准差除以平均值，并定义为一一个新的概念呢?这里面的根本原因在于，标准差除以平均值这个比例，也就是变异系数，可以更好的比较不同种类产品需求的不确定性。
举例来说，假设你有两种产品A和B，你对产品A需求预测的标准差是8，而产品B的需求预测标准差是9。你觉得哪种产品需求的预测相对准一些呢?你的直观感觉肯定是A。但是如果我告诉你，A的需求预测平均值是10，而B的平均值是1000，那你一定会认为，B的误差小得多，预测更准确。
这说明仅仅比较不同产品的标准差是不够的，而比较每个产品的标准差除以平均值，也就是变异系数的话，就会发现，因为产品B的需求平均值基数很大，所以虽然预测的标准差路大于产品A的标准差，但是跟他自己平均值来比却小很多很多，因此8的需求预测相对更精确一些。这就解释了为什么我们要引入变异系数的概念。
好的，下面，我们继续回到刚才说的第三种方案一-*变异系数优先方案”。我们先计算每一种产品的变异系数，然后对所有产品的变异系数从低到高排列。然后从变异系数量低的产品开始按照之前报童模型计算出的供给方案进行生产订货，直到达到总的供给上限为止。
这种方案的基本思想是把有限的供给资源优先分配给那些需求预测更加稳定的产品。因为需求波动性小，所以能更好的保证供给和需求的精准匹配。
具体到咖啡店这个例子里，我们首先计算得出三种蛋糕的变异系数，分别为0.18、0.29、0.6，因此，确定供给量的优先顺序是从第一种蛋糕到第二种到第三种。
我们从优先顺序里排在第一位的第一种蛋糕开始。这款蛋糕的供给量是报童模型计算出的供给量，也就是9个。在给这款蛋糕分配完供给量后，我们的食供给量上顺是14-9=5。
我们接下来看优先顺序里排在第二位的第二种蛋糕，这款蛋糕通过报童模型计算出的供给量是6个，但刚计算出的剩余的供给量仅为5，所以第二种糕只能供给5个，在给这款轻分配完供给后，我们的剩余供给量上限是5-5=0。
因此，我们已经没有任何的剩余制作能力去制作第三种蛋糕，所以第三种蛋糕的制作数量为0。
到此为止，我们就完成了按照这种“变异系数优先方案”对每一种蛋糕制作数量的分配。
为了便于你应用刚才介绍的方法， 跟本节课的第一部分类似， 我也为你把所有的方法和公式都搬到了Excel文件中。这个文件名叫做“多种产品面临共同供给约束的报童模型.xlsx”， 同样在本节课的延伸阅读中。
同样， 你只需要在Excel文件中的蓝色方框里， 手动输入产品数量、供给数量上限， 以及每个产品需求的平均值、标准差、零售价和成本这些数值，就会得出报童模型算出的每种产品的供给量，以及如果每种产品的加合超过总供给上限的话三种调整供给数量方案下的每种产品的供给数量，以及每种方案下的总利润。
通过使用这个Excel工具， 你可以快速得出，在咖啡店这个案例中， “利润率优先方案”能够让你获得最大的总利润， 所以你应该采用这种方案。
到这里，你可能会问，在咖啡店这个案例中，“利润率优先方案”是最优的，这是否意味着对于所有这类问题，这种方案都是最优的呢?
答案是否定的，否则我们也不需要为你搭建这样一个工具。事实上，当你填写在蓝色方框里的这些数值发生变化的时候，可能有时候“等比例减产方案”会变成最优方案，有时候“变异系数优先方案"才是最优方案。
在延伸学习中， 我们为你准备了两个文件， 分别会展示这两种不同的情况。比如Excel文件“等比例减产方案最优的例子xls x"中举的例子就是等比例减产方案是最优的， “变异系数优先方案最优的例子.xlsx"中， 变异系数优先方案就是最优的。
你可能想问，能不能在具体尝试这三种方案之前，就判断出哪种方案最优呢?很可惜，答案是否定的，非常难判断。这也就是为什么我会同时给你介绍这三种方案，并且让你都去尝试的原因。
另外我们回到真实工作场景，假如在公司里，你的上级需要你提供一种供给决策方案，并且拿来向他汇报，虽然你可能已经知道这三种方案里，哪种是最优的，我还是建议你把三种方案同时都拿出来，做个对比。这样一来，你的上级可以通过对三种方案结果的比较，充分信任你的决策，二来，你的上级也能看到你的工作非常严谨和负责，充分考虑和分析了多种方案，而不是盲目做出决定。
最后有一个小提醒， 你可能会发现， Excel文件里， 有的公式看起来比较复杂， 这主要是因为我希望把这个计算过程展示得更加清晰，而你完全可以把这个文件里的公式当作黑箱使用，帮助你在实际的工作和生意中做决策，而不需要花时间去了解里面的机理。
【总结】
亲爱的同学，以上这就是本节的全部内容。你已经掌握了，在面临需求不确定情况下如何做出最优的供给决策。
首先，我向你介绍了非常实用的报童模型。因为报童模型的本质是找到一个供给量去平衡供小于求的成本和供大于求的成本，因此在现实问题中，当你面临权衡这两种成本的情况时，你可以考虑用报童模型做分析。
在使用报童模型的时候，我向你介绍了非常重要的管理启示，也就是说，当你在做供给决策时，绝对不能只看需求的平均值，而必须对需求的不确定性有所了解。只有这样，才能找到最优供给量。
最后，我还向你介绍了，当出现多个产品的需求都存在不确定性，并且这些产品还面对共同的供给约束的时候，应该如何利用报童模型，同时决定多个产品的供给数量。
那么本节，我们所讨论的供给都是短期的、不可存储、不能补货的。下一节课，我们会继续把目光聚焦在供给端，讨论当企业可以长期的、持续做订货补货的时候，如何决策才是最优的。咱们下节课再见。
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