折纸：2018年理数全国卷A题18：用体积公式求解

2018年理数全国卷A题18（12分）

如图，四边形 为正方形， 分别为 的中点，以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，且 .

（1）证明∶平面 平面;

（2）求 与平面 所成角的正弦值.

2018年理科数学全国卷A

---

【解答问题1】

∵ 四边形 为正方形， 分别为 的中点，

∴ , 是矩形，

又 ∵ , ∴ 平面

又 ∵ 平面 ,

∴ 平面 平面. 证明完毕.

---

【解答第2问】

令 .

依题意可知：,

∴ .

∵ 平面 , （第1问中的结论）

又∵ （四边形 为正方形）,

∴ 平面 , 而 平面 ,

∴

根据勾股定理可求得：

∵ ,

∴ 平面 ,

记点 与平面 的距离为 , 则

与平面 所成角的正弦值 .

---

【提炼与提高】

面积公式与体积公式，看起来平淡无奇。应用得当，却可以在很多问题的解答过程中起到意想不到的作用.

本题第2问的关键，是求出点 与平面 的距离. 应用体积公式，在没有作出这条垂线的情况下，就把距离算了出来.

当然，本题还有另外一种解法，就是先作出高线再计算. 详见下文：

2018年理科数学全国卷A

---

【相关考题】

2018年文数全国卷A题18

---