一、定义
在一个表示工程的带权有向图中，用顶点表示事件，用有向边表示活动，用边上的权值表示活动的持续时间，这种有向图的边表示活动的网，我们称之为AOE网(Acitivity On Edge Network)。
AOE网中，没有入边的顶点称为始点或源点。
AOE网中，没有出边的顶点称为终点或汇点。
正常情况下，AOE网中，只有一个源点一个汇点。
AOV网和AOE网都是用来工程建模的。但是它们还是有很大的不同。
- AOV网是顶点表示活动的网，它只是描述活动之间的制约关系。
- AOE网是用边表示活动的网，边上的权值表示活动持续的时间。
我们把路径上各活动持续的时间之和称为路径长度，从源点到汇点具有最大长度的路径叫关键路径。在关键路径上的活动称为关键活动。
相关参数
- 事件的最早发生时间etv(earliest time of vertex)：即顶点Vk的最早发生时间。
- 事件的最晚发生时间ltv(lastest time of vertex)：即顶点Vk的最晚发生时间，也就是每个顶点对应的事件最晚需要开始的时间，超出此时间，整个工程将会延误整个工期。
- 活动的最早开工时间ete(earliest time of edge)：即弧ak的最早发生时间。
- 活动的最晚开工时间lte(lastest time of edge)：即弧ak的最晚发生时间，也就是不推迟工期的最晚开工时间。
二、算法思路
- 求事件的最早发生时间etv的过程，就是我们从头到尾找拓扑序列的过程。
- 计算tlv其实就是把拓扑序列倒过来进行。
三、代码实现
#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define MAXEDGE 30
#define MAXVEX 30
#define INFINITYC 65535
typedef int Status; /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */
/* 邻接矩阵结构 */
typedef struct
{
int vexs[MAXVEX];
int arc[MAXVEX][MAXVEX];
int numVertexes, numEdges;
}MGraph;
/* 邻接表结构****************** */
//边表结点
typedef struct EdgeNode
{
//邻接点域，存储该顶点对应的下标
int adjvex;
//用于存储权值，对于非网图可以不需要
int weight;
//链域，指向下一个邻接点
struct EdgeNode *next;
}EdgeNode;
//顶点表结点
typedef struct VertexNode
{
//顶点入度
int in;
//顶点域，存储顶点信息
int data;
//边表头指针
EdgeNode *firstedge;
}VertexNode, AdjList[MAXVEX];
typedef struct
{
AdjList adjList;
//图中当前顶点数和边数
int numVertexes,numEdges;
}graphAdjList,*GraphAdjList;
/* **************************** */
/* 关于AOE网图的存储代码段-Begin */
//1.完成AOE网图关于邻接矩阵的存储
void CreateMGraph(MGraph *G)/* 构件图 */
{
int i, j;
/* printf("请输入边数和顶点数:"); */
G->numEdges=13;
G->numVertexes=10;
for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)/* 初始化图 */
{
G->vexs[i]=i;
}
for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)/* 初始化图 */
{
for ( j = 0; j < G->numVertexes; j++)
{
if (i==j)
G->arc[i][j]=0;
else
G->arc[i][j]=INFINITYC;
}
}
G->arc[0][1]=3;
G->arc[0][2]=4;
G->arc[1][3]=5;
G->arc[1][4]=6;
G->arc[2][3]=8;
G->arc[2][5]=7;
G->arc[3][4]=3;
G->arc[4][6]=9;
G->arc[4][7]=4;
G->arc[5][7]=6;
G->arc[6][9]=2;
G->arc[7][8]=5;
G->arc[8][9]=3;
}
//2.将邻近矩阵转化成邻接表
void CreateALGraph(MGraph G,GraphAdjList *GL){
int i,j;
EdgeNode *e;
*GL = (GraphAdjList)malloc(sizeof(graphAdjList));
(*GL)->numVertexes=G.numVertexes;
(*GL)->numEdges=G.numEdges;
//读入顶点信息，建立顶点表
for(i= 0;i adjList[i].in=0;
(*GL)->adjList[i].data=G.vexs[i];
//将边表置为空表
(*GL)->adjList[i].firstedge=NULL;
}
//建立边表
for(i=0;iadjvex=j;
e->weight=G.arc[i][j];
//将当前顶点上的指向的结点指针赋值给e
e->next=(*GL)->adjList[i].firstedge;
//将当前顶点的指针指向e
(*GL)->adjList[i].firstedge=e;
(*GL)->adjList[j].in++;
}
}
}
}
/* 关于AOE网图的存储代码段-End! */
int *etv,*ltv; /* 事件最早发生时间和最迟发生时间数组，全局变量 */
int *stack2; /* 用于存储拓扑序列的栈 */
int top2; /* 用于stack2的指针*/
//拓扑排序
Status TopologicalSort(GraphAdjList GL){
//若GL无回路,则输出拓扑排序序列且返回状态OK, 否则返回状态ERROR;
EdgeNode *e;
int i,k,gettop;
//栈指针下标;
int top = 0;
//用于统计输出的顶点个数.作为拓扑排序是否存在回路的判断依据;
int count = 0;
//建栈,将入度in = 0的顶点入栈;
int *stack = (int *)malloc(GL->numVertexes * sizeof(int));
//遍历顶点表上入度in �= 0 入栈
for (i = 0; i < GL->numVertexes;i++) {
//printf("%d %d\n",i,GL->adjList[i].in);
if ( 0 == GL->adjList[i].in ) {
stack[++top] = i;
}
}
//* stack2 的栈指针下标
top2 = 0;
//* 初始化拓扑序列栈
stack2 = (int *)malloc(sizeof(int) * GL->numVertexes);
//* 事件最早发生时间数组
etv = (int *)malloc(sizeof(GL->numVertexes * sizeof(int)));
//* 初始化etv 数组
for (i = 0 ; i < GL->numVertexes; i++) {
//初始化
etv[i] = 0;
}
printf("TopologicSort:\t");
while (top != 0) {
gettop = stack[top--];
printf("%d -> ", GL->adjList[gettop].data);
count++;
//将弹出的顶点序号压入拓扑排序的栈中;
stack2[++top2] = gettop;
//例如gettop为V0 ,那么与V0相连接的结点就有etv[1] = 3; etv[2] = 4;
//例如gettop为V1 ,那么与V1连接的结点就有etv[4]= 3+6=9; etv[3] = 8;
//例如gettop为V2 ,那么与V2连接的结点就有etv[5]= 4+7=11; etv[3] = 12;
//例如gettop为V3 ,那么与V3连接的结点就有etv[4]= 12+3=15;
for(e = GL->adjList[gettop].firstedge; e; e = e->next)
{
k = e->adjvex;
//将i顶点连接的邻接顶点入度减1,如果入度减一后为0,则入栈
if(!(--GL->adjList[k].in))
stack[++top] = k;
//求各顶点事件的最早发生的时间etv值
//printf("etv[gettop]+e->weight = %d\n",etv[gettop]+e->weight);
//printf("etv[%d] = %d\n",k,etv[k]);
if ((etv[gettop] + e->weight) > etv[k]) {
etv[k] = etv[gettop] + e->weight;
}
}
}
printf("\n");
//打印etv(事件最早发生时间数组)
// for (i = 0; i < GL->numVertexes; i++) {
// printf("etv[%d] = %d\n",i,etv[i]);
// }
// printf("\n");
if(count < GL->numVertexes)
return ERROR;
else
return OK;
return OK;
}
//求关键路径, GL为有向网,则输出G的各项关键活动;
void CriticalPath(GraphAdjList GL){
EdgeNode *e;
int i,gettop,k,j;
//声明活动最早发生时间和最迟发生时间变量;
int ete,lte;
//求得拓扑序列,计算etv数组以及stack2的值
TopologicalSort(GL);
//打印etv数组(事件最早发生时间)
printf("etv:\n");
for(i = 0; i < GL->numVertexes; i++)
printf("etv[%d] = %d \n",i,etv[i]);
printf("\n");
//事件最晚发生时间数组
ltv = (int *)malloc(sizeof(int) * GL->numVertexes);
//初始化ltv数组
for (i = 0; i < GL->numVertexes; i++) {
//初始化ltv数组. 赋值etv最后一个事件的值
ltv[i] = etv[GL->numVertexes-1];
//printf("ltv[%d] = %d\n",i,ltv[i]);
}
//计算ltv(事件最晚发生时间) 出栈求ltv
while (top2 != 0) {
//出栈(栈顶元素)
gettop = stack2[top2--];
//找到与栈顶元素连接的顶点; 例如V0是与V1和V2连接
for (e = GL->adjList[gettop].firstedge; e; e = e->next) {
//获取与gettop 相连接的顶点
k = e->adjvex;
//计算min(ltv[k]-e->weight,ltv[gettop])
if (ltv[k] - e->weight < ltv[gettop]) {
//更新ltv 数组
ltv[gettop] = ltv[k] - e->weight;
}
}
}
//打印ltv 数组
printf("ltv:\n");
for (i = 0 ; i < GL->numVertexes; i++) {
printf("ltv[%d] = %d \n",i,ltv[i]);
}
printf("\n");
//求解ete,lte 并且判断lte与ete 是否相等.相等则是关键活动;
//2层循环(遍历顶点表,边表)
for(j=0; jnumVertexes;j++)
{
for (e = GL->adjList[j].firstedge; e; e = e->next) {
//获取与j连接的顶点;
k = e->adjvex;
//ete 就是表示活动 的最早开工时间, 是针对这条弧来说的.而这条弧的弧尾顶点Vk 的事件发生了, 它才可以发生. 因此ete = etv[k];
ete = etv[j];
//lte 表示活动 的最晚开工时间, 但此活动再晚也不能等Vj 事件发生才开始,而是必须在Vj 事件之前发生. 所以lte = ltv[j] - len.
lte = ltv[k]-e->weight;
//如果ete == lte 则输出j,k以及权值;
if (ete == lte) {
printf("<%d-%d> length:%d\n",GL->adjList[j].data, GL->adjList[k].data, e->weight);
}
}
}
}
int main(int argc, const char * argv[]) {
// insert code here...
printf("Hello, 关键路径的求解!\n");
MGraph G;
GraphAdjList GL;
CreateMGraph(&G);
CreateALGraph(G,&GL);
//拓扑排序
//TopologicalSort(GL);
//关键路径
CriticalPath(GL);
return 0;
}
四、算法复杂度
该算法使用了拓扑排序，拓扑排序的算法复杂度为O(n+e)，因此求解关键路径的算法复杂度也为O(n+e)。