位运算trick

位运算本质上不是一种算法，而是一种trick，用来节约时间/空间的trick。背后常常有集合论、状态压缩等思想的支撑。这里探讨的位运算指的是其背后的指导思想而不是trick本身。因此对trick本身的证明就略过了。

位运算各种trick的详解请参照灵神的教学贴：leetcode.cn/circle/discuss/CaOJ45/

如果想获取位运算的知识图谱，以及集合论的一些基础知识。我在子集状压DP篇收录了相关图片（搬运别人的），可以在该博客找到。

一、集合论

常见的有枚举已知集合的子集、判断子集元素、集合交并补（对称）差等。

1.1. LC 78 子集

这里涉及最简单的枚举已知集合的子集。我们可以为集合中的每个元素编号，假设集合的势为n，则编号为0~(n-1)，那么子集就可以写作一个0-1串，选取则为1，不选则为0。采用小端法。

例如，共计4个元素，选取第0个和第2个，就是0101。我们把这个0-1串看成二进制，则它在十进制下就是5。而这种映射显然是一一对应的，双射。因此5就代表了子集{0，2}，用一个4字节整型就压缩了一个子集。

现在既然要枚举子集，那么就要确定子集的范围，很明显是全零到全一，也就是[ 0 , 2^n-1 ]。对于每个数我们判断子集元素即可。

那么如何判断子集元素？每次位于1，若为1则说明末位为1，应选取，然后整个数右移更新末位，循环直至整个0-1串被遍历即可。（或者可以把1移位，这个看个人喜好）

另外这一题是一道比较经典的题，他还能训练深搜回溯的基础算法。这里强调位运算集合论，就不放了。

复杂度O(n*2^n):共O(2^n)个子集，每个移位判断O(n)次。

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

class Solution {
    public List> subsets(int[] nums) {
        // 位运算写法枚举子集
        int n = nums.length;
        List> ans = new ArrayList<>();
        // [ 0 , 1 << n - 1 ] 不选对应0
        int j = 1 << n;
        for (int i = 0; i < j; i++) {
            ArrayList sub = new ArrayList<>();
            int tmp = i;
            int index = 0;
            while(tmp>0){
                if((tmp&1)==1){
                    sub.add(nums[index]);
                }
                index++;
                tmp >>= 1;
            }
            ans.add(sub);
        }
        return ans;
    }
}