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二叉树期权定价模型的介绍

在1979年， 罗斯等人使用一种比较浅显的方法设计出一种期权的定价模型， 称为二项式模型(Binomial Model)或二叉树法(Binomial tree)。 二项期权定价模型由考克斯(J.C.Cox)、罗斯(S.A.Ross)、鲁宾斯坦(M.Rubinstein)和夏普(Sharpe)等人提出的一种期权定价模型，主要用于计算美式期权的价值。

二叉树期权定价模型的优缺点

优点：对欧式期权，有精确的定价公式；比较直观简单，不需要太多数学知识就可以加以应用。

缺点：对美式期权，无精确的定价公式，不可能求出解的表达式，而且数学推导和求解过程在金融界较难接受和掌握。

二叉树期权定价模型的应用

1、创建价格二项树

价格二项树的创建由估值日向期权到期日一步一步向前推。在每一步，假设标的资产价格都会移动u或者d(u>=1, 0

如果标的资产价格向上移动u，再向下移动 d, 那么价格又回到了移动之前。这个特性让每个节点的资产价格能通过简单的公式计算出来，而不需要首先构建价格二项树。

其中，Nu是价格向上运行的次数，Nd是价格向下运动的次数。

2、找出每个最终节点上的期权价值

在二项树的每一个最终节点上，即期权的到期日，期权的价格为它的内在价值，也就是执行价值。

对于认购期权：Max [(Sn-K), 0 ]

对于认沽期权：Max [ (K–Sn), 0 ]

其中K是期权的行权价格；Sn是标的资产在第n个节点的价格。

3、找出更早节点上期权的价值

1) 在风险中性假设下，今天一个衍生品的公允价格等于它以无风险利率来折现的未来收益的期望价值。因此，期望价值的可由之后的两个节点计算得出，分别给价格向上运动赋予概率p，给价格向下运动的赋予概率(1-p)。

期权价值 = [ p × Option up + (1-p) × Option down] × exp (- r × Δt)

或者

其中

是C(t,i)第i个节点在时间t的价值；

是标的资产价格向上运动的概率；

q 是标的资产在期权到期前的股息收益率。

2) 根据此方法，求出来的即为二项树价值。它代表了给定价格变化的情况下，期权在特点时点的公允价值。

3) 根据期权类型的不同，判断每一个节点上期权提前执行的概率：如果期权能够执行，且行权价值高于二项树价值；那么节点价值为行权价值。