现代计算机图形学入门-L4-变换.2

Viewing Transformation（观测变换）

一.View/Camera Transformation(视图变换)

视图变换主要包含模型变换和视图（摄像机）变换，统称为视图变换。

什么是视图变换？

模型-视图-投影变换，简称“MVP变换”

• M:model transformation
  • 设置好场景
  • ex: 选好地方人摆好姿势
• V:view tranforamtion
  • 设置好Camera的look at方向和up方向
  • ex：找到一个角度放置照相机
• P:projection tranformation
  • 将camera看向的3d内容转换为2d画面
  • ex：拍照

model/view变换常常同时进行，由下方视图变换章节可知，做视图变换时根据相对静止，模型也同时应用变换。

如何做视图变换？

1.定义照相机

1. postion 定义相机的位置
2. look-at/gaze direction 定义相机看向的方向
3. up direction 设定相机的up-direction

一个位置，两个向量，则可以确定一个相机，以上则是观测矩阵所需要的初始的定义。

2.观察

前提：当物体与相机保持相对静止时，相机与物体无论如何移动，观察的结果不变。

因此，进行以下的处理：

• (1) 处理：变换相机到标准中心:

  放在原点、up方向为向上的y轴，看向-z方向

• (2) 模型随相机一起运动

好处：简化很多操作

• 设相机在e点上，look at/gaze direction的方向为g，up方向为t
• 现在需要把相机移动到原点，向量g旋转到-z上，t旋转到y正半轴上。

基本步骤：

1. 平移，将e点移动到原点
2. 旋转g到-z方向
3. 旋转向上方向t到+y上
4. 前面步骤完成后，自然而然地gxt的方向就在+x方向了。

上述步骤使用矩阵表示

1. Tview 平移矩阵

   
   

2. Rview 旋转矩阵

由g,t,gxt旋转到-z,y,x上矩阵难写，可以利用旋转矩阵是正交矩阵（正交矩阵的逆等于转置）的特性:

• 先求Rview的逆->Rview-1（即x，y,-z旋转到gxt,t,g）,
• 再对Rview-1求转置得到Rview。

二、Projection Transformatio(投影变换)

1. 正交投影：假设相机拿到无限远，近平面与远平面完全一样大小。

2. 透视投影，frustum中内容成像到近平面上

1、正交投影
Orthographic projection

无近大远小.

基本思想

1. 设置camera在原点，gaze /look at方向为-z，up方向为+y
2. 舍弃物体z值，使物体的z都等于0，至此所有物体都只在x轴跟y轴上，摄像机看到的就是x、y平面上的一张图。
3. 将物体都挤压到规范正方形[-1,1][-1,1],这一步是约定俗称的操作，为了方便后面的计算。

图形学中的实际操作：

• 1. 定义空间中的立方体，[lxr]x[b,t]x[f,n]。f
• 2. 中心位于((r+l)/2,(t+b)/2,(n+f)/2)的立方体延着(-(r+l)/2,-(t+b)/2,-(n+f)/2)平移到原点。
• 3. 将其给拉成一个[-1，1]的正则（canonical）立方体

数学上的表现

2、透视投影：
Perspective projection

符合人眼成像，近大远小，平行线远处会相交

基本思想：

1. 将frustom挤压成一个长方体
2. 再做一次正交投影

如何挤？

定义：

1. 在挤压的过程中，近平面任何一个点的x,y,z值永远不会发生变化。

2. 在挤压过程中，远平面上的Z值不会发生变化。

3. 挤压过程中，远平面的中心点也不会发生变化。

挤压过程：

1. 从侧面观察，根据相似三角形可得y'=(n/z)*y

   
   

2. 同理可得x’

   
   

3. 结果的点可以写成一个齐次坐标矩阵，然后同乘z后，仍然表示同一个点

   
   

4. 写出变换矩阵表达式，原来的点经过变换矩阵后，得到第3步表示的点

   
   

5. 由第4步，可以反推变换矩阵的形式如下：

   
   

   • M的第3行一定与z'有关系。

     
     

6. 根据前述的定义：

• 近平面上的点x、y、z值不变。取点（x,y,n），得到结果后同乘n
  

  
  观察结果第3行=n*n，与x、y无关，因此M前两项必为0：M的第3行=(0,0,A,B)
  

• 远平面上的点的z值不变。取点(0,0,f),代入上述求到的(0,0,A,B）——变换矩阵第三行

综上两个等式，变换矩阵求解完毕

课后思考：

在将frustum挤压为Cuboid的过程中，已知远平面和近平面的Z'不变，那么近平面与远平面之间的z，z’相对z如何变化，更近了还是更远了？

• 解答
  设任意点(x,y,z)经M变换

  
  
  
  

  注意点：camera在原点看向-z方向，所以n+f<0

综上，z’相对z减小，更接近远平面了

小结：

本节课主要讲述观测变换（Viewing Transformation）——三维的场景转换为二维的画面。观测变换包括：

1. 视图变换（M、V）

• 视图变换包含模型变换（Model Transformation）与视图变换Viewing Transformation，两者通常同时进行，统称为视图变换。
• 这一步的目的是将摄像机摆放到look at/gaze方向为-z方向，up为+y，位置为原点的方向，包含平移与旋转过程，物体跟随相机同步变换。
• 变换矩阵最终实际上是作用到物体上，因为应用到物体后，我们就知道这时摄像机就已经摆放到指定位置。
• 求旋转变换矩阵的过程中根据正交矩阵的性质，可以通过求逆矩阵的方式计算，计算非常方便。

2. 投影
   投影分为：

• 正交投影

  
  
  • 求将立方体映射到[-1,1]x[-1,1]x[-1,1]的标准立方体（canonical cube）的变换矩阵。
  • 无近大远小，工程制图应用多。

• 透视投影

  
  
  • 先将四棱锥frustum“压缩成”立方体
  • 再进行正交投影。
  • 近大远小，更符合人眼

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