初等数论基础

  1. 欧拉函数

欧拉函数 ϕ ( x ) ,其中 x 是正整数,函数的值是从 0 到 x − 1 之间与 x 互为质数的个数 欧拉函数\phi(x),其中x是正整数,函数的值是从0到x-1之间与x互为质数的个数 欧拉函数ϕ(x),其中x是正整数,函数的值是从0x1之间与x互为质数的个数

  1. 欧拉定理

a ϕ ( m ) = 1 ( m o d m ) ,其中 m 和 a 是大于 1 的正整数 a^{\phi(m)} = 1(mod \quad m),其中m和a是大于1的正整数 aϕ(m)=1(modm),其中ma是大于1的正整数

  1. 费马定理

a p = 1 ( m o d p ) ,其中 p 是素数 a^{p} = 1(mod \quad p),其中p是素数 ap=1(modp),其中p是素数

  1. 费马大定理

当 n ≥ 3 时,不定方程 x n + y n = z n 没有正整数解 当n\ge 3时,不定方程x^n + y^n = z^n没有正整数解 n3时,不定方程xn+yn=zn没有正整数解

  1. 欧拉常数

γ = ∫ 1 + ∞ ( 1 ∣ x ∣ − 1 x ) = lim ⁡ n → + ∞ [ ∑ k = 1 n 1 k − ∈ n ] \gamma = \int_1^{+\infty} (\frac{1}{|x|} - \frac{1}{x}) = \lim_{n \to +\infty} [\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} -\in n] γ=1+(x1x1)=n+lim[k=1nk1n]

  1. 质数定理

lim ⁡ x → ∞ π ( x ) x log ⁡ x = 1 , 其中 π ( x ) 代表 0 到 x 之间的质数个数 \lim _{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{\frac{x}{\log x}} = 1,其中\pi(x)代表0到x之间的质数个数 xlimlogxxπ(x)=1,其中π(x)代表0x之间的质数个数
lim ⁡ x → ∞ π ( x ) x = 0 , 其中 π ( x ) 代表 0 到 x 之间的质数个数 \lim _{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{x} = 0,其中\pi(x)代表0到x之间的质数个数 xlimxπ(x)=0,其中π(x)代表0x之间的质数个数

  1. 代数数与超越数

若有理系数代数方程 a 0 x n + a 1 x n − 1 + a 2 x n − 2 + . . . + a n − 1 x + a n = 0 有解, 则解叫做代数数 , 其中 a 0 , a 1 , . . . , a n − 1 , a n 是有理数; 若复数不是有理系数代数方程的解,则该复数叫做超越数 若有理系数代数方程a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + a_2 x ^{n-2} + ... + a_{n-1} x + a_n = 0有解,\\则解叫做代数数,其中a_0,a_{1},...,a_{n-1},a_{n}是有理数;\\若复数不是有理系数代数方程的解,则该复数叫做超越数 若有理系数代数方程a0xn+a1xn1+a2xn2+...+an1x+an=0有解,则解叫做代数数,其中a0,a1,...,an1,an是有理数;若复数不是有理系数代数方程的解,则该复数叫做超越数

  1. 证明e是无理数

证明:
e = 1 + 1 1 1 ! + 1 2 2 ! + 1 3 3 ! + . . . + 1 n − 1 ( n − 1 ) ! + 1 n n ! e = 1 + \frac{1^1}{1!} + \frac{1^2}{2!} + \frac{1^3}{3!} + ... + \frac{1^{n-1}}{(n-1)!} + \frac{1^{n}}{n!} e=1+1!11+2!12+3!13+...+(n1)!1n1+n!1n

假设 e 0 = 1 + 1 1 ! + 1 2 ! + 1 3 ! + . . . + 1 ( n − 1 ) ! + 1 n ! , 则 e − e 0 = 1 ( n + 1 ) ! + 1 ( n + 2 ) ! + . . . + 1 ( n + n − 1 ) ! + 1 ( n + n ) ! 假设e_0 = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + ... + \frac{1}{(n-1)!} + \frac{1}{n!} ,\\ 则e - e_0 =\frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+2)!} + ... + \frac{1}{(n+ n -1)!} + \frac{1}{(n+n)!} 假设e0=1+1!1+2!1+3!1+...+(n1)!1+n!1,ee0=(n+1)!1+(n+2)!1+...+(n+n1)!1+(n+n)!1

假设 e 是有理数,则 e = m n , 其中 m , n 是整数,则 n ! ( e − e 0 ) = 1 ( n + 1 ) + 1 ( n + 1 ) ( n + 2 ) + . . . + 1 ( n + 1 ) ( n + 2 ) . . . ( n + n − 1 ) + 1 ( n + 1 ) ( n + 2 ) . . . ( n + n − 1 ) ( n + n ) < 1 ( n + 1 ) + 1 ( n + 1 ) 2 + . . . + 1 ( n + 1 ) n − 1 + 1 ( n + 1 ) n = 1 n 假设e是有理数,则e = \frac{m}{n},其中m,n是整数,则n!(e-e_0) = \\ \frac{1}{(n+1)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} + ... + \frac{1}{(n+1)(n+2)...(n+ n -1)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)...(n+n-1)(n+n)} \lt \\ \frac{1}{(n+1)} + \frac{1}{(n+1)^2} + ... + \frac{1}{(n+1)^{n-1}} + \frac{1}{(n+1)^{n}} = \frac{1}{n} 假设e是有理数,则e=nm,其中m,n是整数,则n!(ee0)=(n+1)1+(n+1)(n+2)1+...+(n+1)(n+2)...(n+n1)1+(n+1)(n+2)...(n+n1)(n+n)1<(n+1)1+(n+1)21+...+(n+1)n11+(n+1)n1=n1
上式可得, lim ⁡ x → ∞ n ! ( e − e 0 ) < 1 n , 即 : 0 < n ! ( e − e 0 ) < 1 又根据假设得 : n ! ( e − e 0 ) ∈ Z ,而根据假设可得 : n ! ( e − e 0 ) ∈ ( 0 , 1 ) ∉ Z ,这样就产生了矛盾,因此假设不成立。 上式可得,\lim_{x \to \infty}n!(e - e_0) \lt \frac{1}{n},即:0< n!(e- e_0) < 1\\ 又根据假设得:n!(e- e_0) \in Z,而根据假设可得:n!(e- e_0)\in (0,1) \notin Z,这样就产生了矛盾,因此假设不成立。 上式可得,xlimn!(ee0)<n1,:0<n!(ee0)<1又根据假设得:n!(ee0)Z,而根据假设可得:n!(ee0)(0,1)/Z,这样就产生了矛盾,因此假设不成立。

  1. 抽象代数

抽象代数( A b s t r a c t a l g e b r a )又称近世代数( M o d e r n a l g e b r a . 伽罗瓦 ( 1811   1832 )运用「群」的概念彻底解决了用根式求解多项式方程的可能性问题 , 一般称他为近世代数创始人。 他使代数学由作为解代数方程的学科转变为研究代数运算的学科, 即把代数学由初等代数时期推向抽象代数。 抽象代数包含群论、环论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支, 并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。 抽象代数(Abstract algebra)又称近世代数(Modern algebra.\\ \color{red}伽罗瓦\color{black}(1811 ~ 1832)运用「群」的概念彻底解决了用根式求解多项式方程的可能性问题,\\ 一般称他为近世代数创始人。\\ 他使代数学由作为解代数方程的学科转变为研究代数运算的学科,\\ 即把代数学由初等代数时期推向抽象代数。\\ 抽象代数包含群论、环论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支,\\ 并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。 抽象代数(Abstractalgebra)又称近世代数(Modernalgebra.伽罗瓦1811 1832)运用「群」的概念彻底解决了用根式求解多项式方程的可能性问题,一般称他为近世代数创始人。他使代数学由作为解代数方程的学科转变为研究代数运算的学科,即把代数学由初等代数时期推向抽象代数。抽象代数包含群论、环论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支,并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。

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