初等数论基础
- 欧拉函数
欧拉函数 ϕ ( x ) ，其中 x 是正整数，函数的值是从 0 到 x − 1 之间与 x 互为质数的个数 欧拉函数\phi(x)，其中x是正整数，函数的值是从0到x-1之间与x互为质数的个数 欧拉函数ϕ(x)，其中x是正整数，函数的值是从0到x−1之间与x互为质数的个数
- 欧拉定理
a ϕ ( m ) = 1 ( m o d m ) ，其中 m 和 a 是大于 1 的正整数 a^{\phi(m)} = 1(mod \quad m)，其中m和a是大于1的正整数 aϕ(m)=1(modm)，其中m和a是大于1的正整数
- 费马定理
a p = 1 ( m o d p ) ，其中 p 是素数 a^{p} = 1(mod \quad p)，其中p是素数 ap=1(modp)，其中p是素数
- 费马大定理
当 n ≥ 3 时，不定方程 x n + y n = z n 没有正整数解 当n\ge 3时，不定方程x^n + y^n = z^n没有正整数解 当n≥3时，不定方程xn+yn=zn没有正整数解
- 欧拉常数
γ = ∫ 1 + ∞ ( 1 ∣ x ∣ − 1 x ) = lim n → + ∞ [ ∑ k = 1 n 1 k − ∈ n ] \gamma = \int_1^{+\infty} (\frac{1}{|x|} - \frac{1}{x}) = \lim_{n \to +\infty} [\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} -\in n] γ=∫1+∞(∣x∣1−x1)=n→+∞lim[k=1∑nk1−∈n]
- 质数定理
lim x → ∞ π ( x ) x log x = 1 , 其中 π ( x ) 代表 0 到 x 之间的质数个数 \lim _{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{\frac{x}{\log x}} = 1,其中\pi(x)代表0到x之间的质数个数 x→∞limlogxxπ(x)=1,其中π(x)代表0到x之间的质数个数
lim x → ∞ π ( x ) x = 0 , 其中 π ( x ) 代表 0 到 x 之间的质数个数 \lim _{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{x} = 0,其中\pi(x)代表0到x之间的质数个数 x→∞limxπ(x)=0,其中π(x)代表0到x之间的质数个数
- 代数数与超越数
若有理系数代数方程 a 0 x n + a 1 x n − 1 + a 2 x n − 2 + . . . + a n − 1 x + a n = 0 有解， 则解叫做代数数 , 其中 a 0 , a 1 , . . . , a n − 1 , a n 是有理数； 若复数不是有理系数代数方程的解，则该复数叫做超越数 若有理系数代数方程a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + a_2 x ^{n-2} + ... + a_{n-1} x + a_n = 0有解，\\则解叫做代数数,其中a_0,a_{1},...,a_{n-1},a_{n}是有理数；\\若复数不是有理系数代数方程的解，则该复数叫做超越数 若有理系数代数方程a0xn+a1xn−1+a2xn−2+...+an−1x+an=0有解，则解叫做代数数,其中a0,a1,...,an−1,an是有理数；若复数不是有理系数代数方程的解，则该复数叫做超越数
- 证明e是无理数
证明：
e = 1 + 1 1 1 ! + 1 2 2 ! + 1 3 3 ! + . . . + 1 n − 1 ( n − 1 ) ! + 1 n n ! e = 1 + \frac{1^1}{1!} + \frac{1^2}{2!} + \frac{1^3}{3!} + ... + \frac{1^{n-1}}{(n-1)!} + \frac{1^{n}}{n!} e=1+1!11+2!12+3!13+...+(n−1)!1n−1+n!1n
假设 e 0 = 1 + 1 1 ! + 1 2 ! + 1 3 ! + . . . + 1 ( n − 1 ) ! + 1 n ! , 则 e − e 0 = 1 ( n + 1 ) ! + 1 ( n + 2 ) ! + . . . + 1 ( n + n − 1 ) ! + 1 ( n + n ) ! 假设e_0 = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + ... + \frac{1}{(n-1)!} + \frac{1}{n!} ,\\ 则e - e_0 =\frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+2)!} + ... + \frac{1}{(n+ n -1)!} + \frac{1}{(n+n)!} 假设e0=1+1!1+2!1+3!1+...+(n−1)!1+n!1,则e−e0=(n+1)!1+(n+2)!1+...+(n+n−1)!1+(n+n)!1
假设 e 是有理数，则 e = m n , 其中 m , n 是整数，则 n ! ( e − e 0 ) = 1 ( n + 1 ) + 1 ( n + 1 ) ( n + 2 ) + . . . + 1 ( n + 1 ) ( n + 2 ) . . . ( n + n − 1 ) + 1 ( n + 1 ) ( n + 2 ) . . . ( n + n − 1 ) ( n + n ) < 1 ( n + 1 ) + 1 ( n + 1 ) 2 + . . . + 1 ( n + 1 ) n − 1 + 1 ( n + 1 ) n = 1 n 假设e是有理数，则e = \frac{m}{n},其中m,n是整数，则n!(e-e_0) = \\ \frac{1}{(n+1)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} + ... + \frac{1}{(n+1)(n+2)...(n+ n -1)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)...(n+n-1)(n+n)} \lt \\ \frac{1}{(n+1)} + \frac{1}{(n+1)^2} + ... + \frac{1}{(n+1)^{n-1}} + \frac{1}{(n+1)^{n}} = \frac{1}{n} 假设e是有理数，则e=nm,其中m,n是整数，则n!(e−e0)=(n+1)1+(n+1)(n+2)1+...+(n+1)(n+2)...(n+n−1)1+(n+1)(n+2)...(n+n−1)(n+n)1<(n+1)1+(n+1)21+...+(n+1)n−11+(n+1)n1=n1
上式可得， lim x → ∞ n ! ( e − e 0 ) < 1 n , 即 : 0 < n ! ( e − e 0 ) < 1 又根据假设得 : n ! ( e − e 0 ) ∈ Z ，而根据假设可得 : n ! ( e − e 0 ) ∈ ( 0 , 1 ) ∉ Z ，这样就产生了矛盾，因此假设不成立。 上式可得，\lim_{x \to \infty}n!(e - e_0) \lt \frac{1}{n},即:0< n!(e- e_0) < 1\\ 又根据假设得:n!(e- e_0) \in Z，而根据假设可得:n!(e- e_0)\in (0,1) \notin Z，这样就产生了矛盾，因此假设不成立。 上式可得，x→∞limn!(e−e0)<n1,即:0<n!(e−e0)<1又根据假设得:n!(e−e0)∈Z，而根据假设可得:n!(e−e0)∈(0,1)∈/Z，这样就产生了矛盾，因此假设不成立。
- 抽象代数
抽象代数（ A b s t r a c t a l g e b r a ）又称近世代数（ M o d e r n a l g e b r a . 伽罗瓦 （ 1811 1832 ）运用「群」的概念彻底解决了用根式求解多项式方程的可能性问题 , 一般称他为近世代数创始人。 他使代数学由作为解代数方程的学科转变为研究代数运算的学科， 即把代数学由初等代数时期推向抽象代数。 抽象代数包含群论、环论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支， 并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。 抽象代数（Abstract algebra）又称近世代数（Modern algebra.\\ \color{red}伽罗瓦\color{black}（1811 ~ 1832）运用「群」的概念彻底解决了用根式求解多项式方程的可能性问题,\\ 一般称他为近世代数创始人。\\ 他使代数学由作为解代数方程的学科转变为研究代数运算的学科，\\ 即把代数学由初等代数时期推向抽象代数。\\ 抽象代数包含群论、环论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支，\\ 并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。 抽象代数（Abstractalgebra）又称近世代数（Modernalgebra.伽罗瓦（1811 1832）运用「群」的概念彻底解决了用根式求解多项式方程的可能性问题,一般称他为近世代数创始人。他使代数学由作为解代数方程的学科转变为研究代数运算的学科，即把代数学由初等代数时期推向抽象代数。抽象代数包含群论、环论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。