第三讲

第三讲：自然坐标系下曲线运动的加速度

—— 以圆周运动为例

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数学符号

, , ,

对应的代码为
$\vec{e}_n$, $\vec{e}_{t}$, $\frac{x}{y}$, $\sqrt{x}$

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知识点

• 曲线运动的加速度

  • 自然坐标系， ，

  • 匀速圆周运动的加速度，向心加速度

    • 写成矢量式

  • 直线运动的加速度，切向加速度

    • 写成矢量式

  • 变速圆周运动的加速度

  • 一般曲线运动的加速度

  • 物体曲线运动时，时间很短的时候，运动的弧长接近于弦长，即

    • 平均速率是标量。平均速度是矢量。

    • 曲率半径的直观感受

    • 计算曲率半径

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例题

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• 例1.

  曲线运动中，加速度经常按切向和法向进行分解：

  借助熟悉的例子来构建其直观物理图像，有助于理解并记忆这些复杂的公式。

  • 在弯曲的轨道上匀速率行驶的火车，
    (1) ，
    (2) ，

  • 在直线上加速跑向食堂的小伙伴，
    (3) ，
    (4) ，

  • 变速圆周运动的质点，
    (5) ，。
    (6) ， (不就是高中学过的向心加速度嘛)

    上述判断正确的为

解答： （2）（3）（6）
切向加速度改变速度的大小
法向加速度改变速度的方向，都是矢量

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• 例2.

  一个质点在做圆周运动时,则

  • 切向加速度一定改变, 法向加速度也改变
  • 切向加速度可能不变, 法向加速度一定改变
  • 切向加速度可能不变, 法向加速度不变
  • 切向加速度一定改变, 法向加速度不变

解答：2
特列：匀速圆周运动，
既然是曲线运动，即它的切线方向也在改变，与切线垂直则是法向加速度，加速度为矢量，方向变了，所以加速度也变了

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• 例3.

  物体作斜抛运动，初速度大小为，且速度方向与水平前方夹角为，则物体轨道最高点处的曲率半径为？

解答：分析：当物体到最高点，此时竖直方向上的速度为0
分解初速度：
此时重力加速度充当向心力则有

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• 例4.

  质点在 平面内运动，其运动方程为．则在 时切向和法向加速度分别为( )

解答：

由定义.


所以

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作业

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• 质点在Oxy 平面内运动,其运动方程为．则在 到 时间内的平均速度为

解答：
平均速度为

• 设质点的运动学方程为 (式中、皆为常量) 则质点的速度和速率分别为

解答：

• 运动学的一个核心问题是已知运动方程，求速度和加速度。质点的运动方程为
  
  则时刻的速度与速率

解答：设为X轴单位正向量，为Y轴单位正向量
所以有