NJUPT【 高等数学 (下) 】

考试范围

< 考试内容 >
① 多元函数（20%）
② 二重积分，三重积分（20%）
③ 曲线积分，曲面积分（20%）
④ 级数（22%）
⑤ 复变函数（18%）
< 不考内容 >
重积分的物理应用，散度，旋度，斯托克斯公式
复数计算，初等函数计算，调和函数，傅里叶级数的 2L 周期

NJUPT《高等数学下》真题及答案

第7章 多元函数

• 概念

定义域，连续性，求极限

• 偏导数，全微分

1）偏导数：其中一个变量的导数，而其他变量不变
2）全微分：dz = ∂z/∂x *dx + ∂z/∂y *dy，z 为多元函数

• 多元复合函数求导

1）二元函数
∂z/∂t = ∂z/∂x *∂x/∂t + ∂z/∂y *∂y/∂t
2）三元函数
u = f (x, xy, xyz)，∂u/∂x = f₁ + yf₂ + yzf₃

• 隐函数求导

1）二元隐函数

F(x,y) = 0 ，Fx、Fy 是偏导，∂y/∂x = -Fx/Fy

2）三元隐函数

• 几何应用

• 方向导数，梯度

方向导数 = 梯度 * 单位法向量 = gradu|M * n0
梯度：gradu |M = {∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z} |(x0, y0,z0)

单位向量：法线向外取正，法线向内取负

• 多元函数求极值

① 求 f(x,y) 的极值
② 求 z = f(x,y) 在 g(x,y) = 0 闭区间 D 上的极值

第8章 重积分

• 重积分

1）I = ∫∫D f₁(x,y)dxdy，I’ = ∫∫D f₂(x,y)dxdy
结论：区域 D 相同，若 f₁(x,y) ≥ f₂(x,y)，则 I ≥ I‘

2）估算积分值

• 二重积分

1）直角坐标的二重积分
① 化二重积分为二次积分
∫∫D f(x,y)dσ = ∫dx ∫f(x,y)dy

② 交换积分次序

③ 计算二重积分

④ 体积 V = ∫ dx ∫ z(x,y) dy，质量 m = ∫ dx ∫ μ(x,y) dy

2）极坐标下的二重积分
① ∫∫ D f(x,y)dσ = ∫dθ ∫D f(rcosθ, rsinθ) rdr
② ∫∫ D f(x,y)dσ = I，关于 x 轴对称时
若 f(x,y) = f(x,-y) ，则 I = 2I'
若 f(x,y) = - f(x,-y) ，则 I = 0
∫∫D f(x,y)dσ = I，关于 y 轴对称时
若 f(x,y) = f(-x,y) ，则 I = 2I'
若 f(x,y) = - f(-x,y) ，则 I = 0
③ 体积 V = ∫ dθ ∫ z(rcosθ, rsinθ) *r dr

• 三重积分

1）直角坐标系
① 化三重积分为三次积分
∫∫∫Ω f(x,y,z) dV = ∫ dx ∫ dy ∫ f(x,y,z)dz

② 计算三重积分

2）柱面坐标系
① 化三重积分为三次积分
∫∫∫Ω f(x,y,z) dV = ∫ dθ ∫ rdr ∫ f(x,y,z) dz

② 计算三重积分

3）球面坐标系
① 化三重积分为三次积分
∫∫∫Ω f(x,y,z) dV = ∫dθ ∫sinφdφ ∫f( rcosθsinφ, rsinθsinφ , rcosφ) r²dr

② 计算三重积分

• 重积分的应用

① 求割下面积

② 球体质心

（质心显然在z轴上）

③ 薄片质心

（质心显然在y轴上）

④转动惯量

第9章 曲线积分，曲面积分

• 曲线积分

1）第一类曲线积分（对弧长，没有积分方向）
2）第二类曲线积分（对坐标，有积分方向）

• 格林公式

• 曲面积分

1）第一类曲面积分（对面积，没有积分方向）

2）第二类曲面积分（对坐标，有积分方向）

• 高斯公式，通量，散度

①散度

②高斯公式（封闭曲面）

③通量

• 斯托克斯公式，环流量，旋度

①旋度

②环流量

③ 斯托克斯公式

第10章 无穷级数

• 常数项级数及审敛法

1）正项级数
① ∑(n=1,∞) 1/n，发散
∑(n=1,∞) 1/n^a，a> 1 收敛，a≤ 1 发散
∑(n=1,∞) a^n，a< 1 收敛，a≥ 1 发散

② 根值法，比值法，比较法

③ 直接计算 ，例如：∑(n=1,∞) (√n+1-√n) = -1+ √n+1，所以发散
4）交错级数

5）交错发散，则交错级数发散
交错收敛，正项收敛，则交错级数绝对收敛

交错收敛，正项发散，则交错级数条件收敛

• 幂级数

1）收敛半径
先将 | lim(n->∞)U(n+1)/Un | < 1化为 | x+a | < b，收敛半径就是 b
例如：Un = nx^n，| lim(n->∞)(n+1)* x^n+1/n* x^n | < 1，化为 | x | < 1，收敛半径为1
2）∑(n=1,∞) an( x+b )^n 在 x = a1 处收敛，则此级数在 x = a2 处绝对收敛吗？
若 | a2+b | < | a1+b | ，则绝对收敛
若 | a2+b | ≥ | a1+b | ，则不绝对收敛
3）收敛区域
① | lim(n->∞)U(n+1)/Un | < 1时，x 的范围
② | lim(n->∞)U(n+1)/Un | = 1时，满足收敛的 x值
4）和函数
a. 当 Un = f(n) * x ^f(n)-1 时，Vn = ∫ Un dn
S(x) = [ V₁ / (1 - Vn+1/Vn) ] '，且 |x| < 1
b. 当 Un = x ^f(n) / f(n) 时，Vn = Un '
S(x) = ∫ V₁ / (1 - Vn+1/Vn) dx + C，且 |x| < 1

再令 S(x) = 0求出 C

• 函数展开为幂级数

1）常规做法
① 先求出 f(0)，f(x)^n（ n 阶导数 ）
② 再展开 f(x) = f(0) + ∑(n=1,∞) f(x0)^n * x^n/n!（ x0 取0 ）
③ 最后求 Un 收敛区域

2）麦克劳林公式法

3）将 f(x) 在 x=a 处展开
将 f₁(x) 化为 f₂(x-a) 的形式，再麦克劳林展开即可

• 傅里叶级数

1）f(x) 的傅里叶级数，在 x=a 处收敛于 lim(x->a) f(x)

2） [ -π, π ]
f(x) = a0/2 + ∑(n=1,∞)ancos(nx)+bnsin(nx）
① f(x)为偶函数时，余弦级数
bn = 0
a0 = 2/π ∫(0->π) f(x) dx
an = 2/π ∫(0->π) f(x)cos(nx) dx
f(x) = a0/2 + ∑(n=1,∞) an *cos(nx)
② f(x)为奇函数时，正弦级数
a0 = an = 0
bn = 2/π ∫(0->π) f(x)sin(nx) dx
f(x) = ∑(n=1,∞) bn *sin(nx)

3）[ -L, L ] 同理，将 π 替换为 L 即可

第11章 复变函数，解析函数

• 复数

1）复数 z = x+yi
实部 Re(z) = x
虚部 Im(z) = y
共轭复数 z' = x-yi
模 |z| = √ x^2 + y^2
2）辐角 Arg(z)
当 y=0 时，Arg(z) = π
当 x>0 时，Arg(z) = arctan(y/x)
当 x=0，y>0 时，Arg(z) = π/2
当 x=0，y<0 时，Arg(z) = -π/2
当 x<0，y>0 时，Arg(z) = arctan(y/x) + π

当 x<0，y<0 时，时，Arg(z) = arctan(y/x) - π

例如：z = -3/2 + 3/2 i，辐角 Arg(z) = arctan(-1) + π = 3/4π
2）三角表达式
若 z = a + b i，则 w = |z| ( cos Arg(z) + i* sin Arg(z) )
例如：z = -1 - i，三角表达式 w = √2 ( cos(-3/4π) + i* sin(-3/4π) )
3）计算：(a + bi)^1/n = z^1/n
= ρ ( cosθ + i* sinθ )（三角表达式）
= ρ^1/n * e^1/n*θi (值）

• 复变函数

1）w = f(z)，求将 z 平面上的 g(x,y) = 0 映射到 w 平面

2）极限（洛必达法则）
例如：lim(z->i) (z-i)/z(1+z^2)
原式 = lim(z->i) 1/1+z^2 + z* 2z = lim(z->i) 1/1+3z^2 = -1/2
3）连续性（分母不为0）
例如：f(z) = z/(1+z^2)
因为1+z^2 ≠ 0，所以 f(z) 在 z≠±i 处连续

• 解析函数

1）奇点：使分母为0的点
2）利用定义求导数
例如：求 f(z) = z^2 * Im(z) 在 z=0 的导数
f(0) = lim(z->0) f(z) - f(0)/z = lim(z->0) z*Im(z) = 0

3）解析条件

• 初等函数

① 计算：Ln(z)
② 计算：z ^i
③ 计算：z ^1/n

第12章 复变函数的积分

1）沿路线计算积分

2）积分基本定理

① 柯西定理

② 留数定理

③直接积分

第13章 复变函数的级数

• 复变函数项级数

• 泰勒级数

① 泰勒级数是在 x = a 处的展开，收敛区间为 |x-a|
麦克劳林级数是在 x = 0 处的展开，收敛区间为 |x|
麦克劳林公式是在 x0=0 时的泰勒公式
② 泰勒级数是无穷项，泰勒展开式是有限项
③ 泰勒公式：f(x) = f(a)/0! + f'(a)(x-a)/1! + f''(a)(x-a)/2! + ... + f^n(a)(x-a)/n!

• 洛朗级数