高中奥数 2021-08-18

2021-08-18-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 图形的全等与相似 P010 习题16）

设是边上一点,且满足,线段与的内切圆交于点、,且距点更近一些,的内切圆与边切于点.证明:

(1);

(2),其中,为的内心,为边的中点.

证明

图1

(1)如图,由条件可知为内的旁切圆与边的切点,且为内的旁切圆和内切圆的位似中心,和是对应点.

因此,过点的切线与平行.

从而,为的直径,则,即.

(2)因为,所以,为的中点.

又为的中点,故.

2021-08-18-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 图形的全等与相似 P010 习题17）

设、是内部的两个点,且满足,.证明:

.

证明

图2

如图,设是射线上的点,且满足.

因为,则在的外部.

又因,所以.

故.

由,,可得,于是,.

因为,所以、、、四点共圆.

由托勒密(Pcolemy)定理,有,或.

将,,代入,得,即.

2021-08-18-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 图形的全等与相似 P010 习题18）

设是凸六边形,,且.证明:.

证明

图3

如图,设点满足,,则.

于是,

(1)

(2).

由已知条件有.

又由(1)及已知条件得(3).

所以,,故,且.

因为,由(2)知,类似地,由及(3)得.

于是,两式相乘,即得所求.