实分析笔记(1.3)映射

• 映射的定义

设和是两个集合.如果按照某种对应法则，使得对每一个中有唯一的一个元与之对应，则我们说给出了从到的一个映射.若用表示这个映射，则和之间的关系可表示为：,此外与之间的关系可表示为 称为在映射下的像，称为在下的原像.
注解：映射(mapping)很重要的一点就是对每个在下的像是唯一的，举一个例子：把每个在校学生对应到寝室，因为每个学生只对应一个寝室，因此这种对应是唯一的，因此可以构成一个映射；但是反过来就不可以了，因为一个寝室对应着多个学生。

• 单射 满射 双射

单射：若对中任何两个不同的元和,有,则称为单射；简记为“原像不同，则像不同”。
满射：若对任何,存在使得,则称为满射；简记为“所有像都有原像”。
双射：即是单射又是满射的映射称为双射。

• 像集 原像集 逆映射

仍设.令表示的子集全体，表示的子集全体。对每个及令 则称为在下的像，称为在下的原像。
这样，如果给出了,我们可以按照上述法则，诱导出两个新的映射：现在，如果特别地，是一个双射，那么此时对每一个,中有且仅有一个元使.此时可以定义则是到的一个双射，它称为的逆映射.

• 映射的复合

假设有两个映射：此时对每个定义则是一个从到的映射，它称为和的复合,记为
定理：设，则：
(i);
(ii)若和都是双射，则也是双射。
以上两条性质都比较简单，读者可自行验证。