【算法挨揍日记】day44——518. 零钱兑换 II、279. 完全平方数
518. 零钱兑换 II
518. 零钱兑换 II
题目描述：
给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。
请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。
假设每一种面额的硬币有无限个。
题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。
解题思路：
算法思路：
先将问题「转化」成我们熟悉的题型。
i. 在⼀些物品中「挑选」⼀些出来，然后在满⾜某个「限定条件」下，解决⼀些问题，⼤概率
是背包模型；
ii. 由于每⼀个物品都是⽆限多个的，因此是⼀个「完全背包」问题。
接下来的分析就是基于「完全背包」的⽅式来的。
1. 状态表⽰：
dp[i][j] 表⽰：从前 i 个硬币中挑选，总和正好等于 j ，⼀共有多少种选法。
2. 状态转移⽅程：
线性 dp 状态转移⽅程分析⽅式，⼀般都是「根据最后⼀步」的状况，来分情况讨论。但是最后
⼀个物品能选很多个，因此我们的需要分很多情况：
i. 选 0 个第 i 个硬币：此时相当于就是去前 i - 1 个硬币中挑选，总和正好等于 j 。
此时最少的硬币个数为 dp[i - 1][j] ；
ii. 选 1 个第 i 个硬币：此时相当于就是去前 i - 1 个硬币中挑选，总和正好等于 j -
v[i] 。因为挑选了⼀个 i 硬币，此时最少的硬币个数为 dp[i - 1][j -
coins[i]] + 1 ；
ii. 选 2 个第 i 个硬币：此时相当于就是去前 i - 1 个硬币中挑选，总和正好等于 j
- 2 * coins 。因为挑选了两个 i 硬币，此时最少的硬币个数为 dp[i - 1][j -
2 * coins[i]] + 2 ；
iv. ......
结合我们在完全背包⾥⾯的「优化思路」，我们最终得到的状态转移⽅程为：
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - coins[i]] + 1 。
这⾥教给⼤家⼀个技巧，就是相当于把第⼆种情况 dp[i - 1][j - coins[i]] + 1 ⾥
⾯的 i - 1 变成 i 即可。
3. 初始化：
初始化第⼀⾏即可。
第⼀⾏表⽰没有物品，没有物品正好能凑能和为 0 的情况。因此 dp[0][0] = 1 ，其余位置都
是 0 种情况。
4. 填表顺序：
根据「状态转移⽅程」，我们仅需「从上往下」填表即可。
5. 返回值：
根据「状态表⽰」，返回 dp[n][V] 。
解题思路：
class Solution {
public:
int change(int amount, vector& coins) {
int n=coins.size();
vector>dp(n+1,vector(amount+1));
dp[0][0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=0;j<=amount;j++)
{
dp[i][j]+=dp[i-1][j];
if(j>=coins[i-1]) dp[i][j]+=dp[i][j-coins[i-1]];
}
}
return dp[n][amount];
}
}; 空间优化后的代码：
class Solution {
public:
int change(int amount, vector& coins) {
int n=coins.size();
vectordp(amount+1);
dp[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=coins[i-1];j<=amount;j++)
{
dp[j]+=dp[j-coins[i-1]];
}
}
return dp[amount];
}
}; 279. 完全平方数
279. 完全平方数
题目描述：
给你一个整数 n ，返回 和为 n 的完全平方数的最少数量 。
完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。
解题思路：
算法思路：
这⾥给出⼀个⽤「拆分出相同⼦问题」的⽅式，定义⼀个状态表⽰。（⽤「完全背包」⽅式的解法
就仿照之前的分析模式就好啦~~）
为了叙述⽅便，把和为 n 的完全平⽅数的最少数量简称为「最⼩数量」。
对于 12 这个数，我们分析⼀下如何求它的最⼩数量。
▪ 如果 12 本⾝就是完全平⽅数，我们不⽤算了，直接返回 1 ；
▪ 但是 12 不是完全平⽅数，我们试着把问题分解⼀下：
1. 情况⼀：拆出来⼀个 1 ，然后看看 11 的最⼩数量，记为 x1 ；
2. 情况⼆：拆出来⼀个 4 ，然后看看 8 的最⼩数量，记为 x2 ；（为什么拆出来 4 ，
⽽不拆出来 2 呢？）
3. 情况三：拆出来⼀个 8 ......
其中，我们接下来求 11 、 8 的时候，其实⼜回到了原来的问题上。
因此，我们可以尝试⽤ dp 的策略，将 1 2 3 4 6 等等这些数的最⼩数量依次保存起来。再求
较⼤的 n 的时候，直接查表，然后找出最⼩数量。
1. 状态表⽰：
dp[i] 表⽰：和为 i 的完全平⽅数的最少数量。
2. 状态转移⽅程：
对于 dp[i] ，根据思路那⾥的分析我们知道，可以根据⼩于等于 i 的所有完全平⽅数 x 进⾏
划分：
▪ x = 1 时，最⼩数量为： 1 + dp[i - 1] ；
▪ x = 4 时，最⼩数量为： 1 + dp[i - 4] ......
⼀直枚举到 x <= i 为⽌。
为了⽅便枚举完全平⽅数，我们采⽤下⾯的策略： for(int j = 1; j * j <= i; j++)
综上所述，状态转移⽅程为：
dp[i] = min(dp[i], dp[i - j * j] + 1)
3. 初始化：
当 n = 0 的时候，没法拆分，结果为 0 ；
当 n = 1 的时候，显然为 1 。
4. 填表顺序：
从左往右。
5. 返回值：
根据题意，返回 dp[n] 的值。
解题代码：
class Solution {
public:
int numSquares(int n) {
vector dp(n + 1);
dp[1] = 1; // 初始化
for (int i = 2; i <= n; i++) // 枚举每个数
{
dp[i] = 1 + dp[i - 1]; // ⾄少等于 1 + dp[i - 1]
for (int j = 2; j * j <= i; j++) // ⽤⼩于 i 的完全平⽅数划分区间
dp[i] =
min(dp[i], dp[i - j * j] + 1); // 拿到所有划分区间内的最⼩值
}
// 返回结果
return dp[n];
}
};