数据结构（六）：冒泡排序、选择排序、插入排序、快速排序

一、大O表示法

在计算机中采用粗略的度量来描述计算机算法的效率，这种方法被称为“大O”表示法。
我们判断一个算法的效率，不能只凭着算法运行的速度，因为随着数据量的变化，算法的速度会发生变化，所以我们应该：

根据算法的速度随着数据量的变化会如何变化，这样的方式来表示算法的效率，大O表示法就是方式之一。

推导大O表示法：
规则一：用常量1取代运行时间中所有的加法常量。如7 + 8 = 15，用1表示运算结果15，大O表示法表示为O（1）；
规则二：运算中只保留最高阶项。如N^3 + 3n +1，大O表示法表示为：O（N³）;
规则三：若最高阶项的常数不为1，可将其省略。如4N2，大O表示法表示为：O（N²）;

接下来是我们的集中排序算法：
简单排序：冒泡排序、选择排序、插入排序；
高级排序：希尔排序、快速排序；
我们封装一个列表来存储数据和排序算法

class ArrayList {
	 constructor() {
	     this.arr = []
	 }
	
	 insert(element) {
	     return this.arr.push(element);
	 }
	
	 toString() {
	     return this.arr.join(' ');
	 }
}
	
	let list = new ArrayList();
	list.insert(4);
	list.insert(5);
	list.insert(2);
	list.insert(1);
	list.insert(3);
	console.log(list.toString());

二、冒泡排序

我先自己写了一遍，我发现我写的这个其实是有问题的，内层循环控制两个元素依次比较，外层循环控制比较的趟数。这样写虽然能实现，但是你会发现其实内层循环每次都要比较arr.length-1次，而实际上后面元素如果排好的话，根本不需要再比较了，比如21345，那么345就不用再比较了。

1.冒泡排序
bubbleSort() {
   for(let i = 0; i < this.arr.length-1; i++) {
       for(let i = 0; i < this.arr.length-1; i++) {
	       if(this.arr[i] > this.arr[i+1]) {
	       		//交换两个位置的值
	           let zzy = this.arr[i+1];
	           this.arr[i+1] = this.arr[i];
	           this.arr[i] = zzy;
	       }
   		}
   }
   return this.arr
}

这样的话就需要进行一些小小的改进：
改进的就是这个for循环的次数，拿[4,2,1,3]来举例，外层循环控制趟数，那么4个数比较3趟，依次递减（j=3第一趟，j=2第二趟，j=1第三趟），每一趟中都要两两比较，从下标为0开始，依次比较j次（j=3第一趟比较3次，j=2第二趟比较2次，j=1第三趟比较1次）。

总结：4个数要比较三趟，第一趟比较3次，第二趟比较2次，第三趟比较1次

bubbleSort() {
   for (var j = this.arr.length - 1; j > 0; j--) {
       for (var i = 0; i < j; i++) {
           if (this.arr[i] > this.arr[i + 1]) {
               let zzy = this.arr[i + 1];
               this.arr[i + 1] = this.arr[i];
               this.arr[i] = zzy;
           }
       }
   }
   return this.arr
}

冒泡排序的效率：

上面所讲的对于7个数据项，比较次数为：6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1;
对于N个数据项，比较次数为：(N - 1) + (N - 2) + (N - 3) + … + 1 = N * (N - 1) / 2；
如果两次比较交换一次，那么交换次数为：N * (N - 1) / 4；

使用大O表示法表示比较次数和交换次数分别为：O(N*(N - 1)/2)和O(N*(N - 1)/4)，根据大O表示法的三条规则都化简为：O(N²);

三、选择排序

选择排序的思路：从所有元素中找到最小的一个，和第一个元素交换位置；从后面元素中找到最小的一个，和第二个元素交换位置……，直到length-1最后一个位置停止。

selectionSort() {
    for (var j = 0; j < this.arr.length - 1; j++) {
        let minIndex = j;
        for (var i = minIndex + 1; i < this.arr.length; i++) {
            if (this.arr[i] < this.arr[minIndex]) {
                minIndex = i;
            }
        }
        //交换两个位置元素
        let temp = this.arr[minIndex];
        this.arr[minIndex] = this.arr[j];
        this.arr[j] = temp;
    }
    return this.arr;
}

还是拿[4,3,1,2]举例吧，代码思路就是默认0位置第一个数是最小的，然后内层循环从索引1位置开始比较，找到最小数1的索引2后，和索引0的4交换（[1,3,4,2]）；然后外层循环j=1，下一层内层循环应该从索引2处的4开始比较，找到索引3处的2，和索引1处的3交换（[1,2,4,3]）；然后外层循环j=2，以此类推，直到外层循环走到倒数第二个位置。

选择排序的效率：
选择排序的比较次数为：N * (N - 1) / 2，用大O表示法表示为：O（N²）;
选择排序每一趟交换一次，交换次数为：(N - 1) / 2，用大O表示法表示为：O（N）;
所以选择排序的效率高于冒泡排序；

四、插入排序

插入排序的思路：默认第一个数是有序的，然后前两个数变成有序，然后前三个数变成有序……也就是说第1趟比较前2个，第二趟比较前3个……如果比较时最后一个直接就是最大的，那么就break跳出循环。
拿[4,3,1,2,5]举例，我画了个图
从上到下分别是每一趟，从左到右分别是每一次比较

//3.插入排序
insertionSort() {
    //外层循环，从第一个位置开始获取数据。
    for (let j = 1; j < this.arr.length; j++) {
        //内层循环，从当前位置依次向前比较
        for (let i = j - 1; i >= 0; i--) {
            if (this.arr[i] > this.arr[j]) {
                //交换位置
                let temp = this.arr[j]; //保存当前数据
                this.arr[j] = this.arr[i];
                this.arr[i] = temp;
                j--; //j往前挪
            } else {
                break; //如果比前边的数大，就退出循环
            }
        }
    }
    return this.arr;
}

插入排序的效率：
比较次数：第一趟最多比较1次；第二趟最多比较2次；以此类推，最后一趟最大为N-1；所以，插入排序的总比较次数为N * (N - 1) / 2；但是，实际上每趟发现插入点之前，平均只有全体数据项的一半需要进行比较，所以比较次数为：N * (N - 1) / 4；

交换次数也是同理：指一共需要交换N * (N - 1) / 2次，平均次数为N * (N - 1) / 4；

虽然用大O表示法表示插入排序的效率也是O（N²），但是插入排序整体操作次数更少（除非[5,4,3,2,1]，不然不用比较和交换那么多次就排完了），因此，在简单排序中，插入排序效率最高；

五、快速排序

1、先选取枢纽，这里选择第一个元素为枢纽（其实选择首尾和中间位置元素三者的中位数比较好，方法就是先把三个数取出来冒泡排序，然后找到中位数作为枢纽pivot）

2、定义左右两个指针，依次和枢纽比较，如果左边比枢纽大，左指针停，否则右移；如果右边比枢纽小，右指针停，否则向左移动；然后左右指针位置的数进行交换，直到左右指针相撞，那么所指位置的数就和枢纽交换。本次排序就完成了。

3、接下来递归调用，分别对枢纽左侧和枢纽右侧重复执行上述操作，直到满足某个条件开始出栈，最后返回arr

4、递归停止的条件：begin == end 此时说明枢纽左侧或右侧只有一个元素，不需要排序；还有begin > end 此时说明枢纽在第一个元素（begin=1,end=-1），枢纽左侧没东西了不需要递归了，左侧就出栈

function quickSort(arr, begin = 0, end = arr.length - 1) {
    if(begin >= end) return; //递归开始出栈的条件
    let i = begin; //定义一个左指针，指向第一个元素
    let j = end; //定义一个右指针，指向最后一个元素
    let pivot = arr[i]; //把枢纽设置为第一个元素
    //当左右指针重合（i==j）时，交换当前指针元素和枢纽位置元素
    while(i < j) {
        //只要没有重合，就继续迭代指针
        //先看右指针，如果右指针指向的数比pivot大，说明是正确的，继续向左查找
        while(i < j && arr[j] >= pivot) {
            //上面条件中，i < j 是为了防止指针迭代时i超过j，这是不对的
            j--;
        }
        //再看左指针，如果左指针指向的数比pivot小，说明是正确的，继续向右查找
        while(i < j && arr[i] <= pivot) {
            i++;
        }
        //左右指针都停了，就交换两个指针的数
        [arr[i],arr[j]] = [arr[j], arr[i]];
    }
    //指针碰撞，交换枢纽(我们设置的是begin位置)和当前位置
    [arr[begin], arr[i]] = [arr[i], arr[begin]];
   	//，第一次排序结束，接下来左右分别递归
    quickSort(arr, begin, i - 1); //左边递归，确定起始结束位置
    quickSort(arr, i + 1, end); //右边递归，确定起始结束位置
}