谁能追上乌龟？

设想一个这样的场景：

某天，你正在散步，发现前面100米处有一只乌龟在缓慢爬行，你想要抓住它，于是便加快了步伐。但是在追赶的过程中，出现了这样的情况：

当你走完这100米，乌龟向前走了10米；当你走完这10米，乌龟又向前走了1米，当你走完这1米，乌龟又向前走了0.1米……

你发现你永远不可能追上乌龟！

然而实际情况，好像不是这样的？

1.

上面那个场景，就是古希腊数学家芝诺提出的一个著名的悖论：

阿基里斯虽然是希腊跑得最快的英雄，但是他永远也追不上乌龟。因为他总是要先到达乌龟起步的那一点，而当他到达时乌龟早已离开，以此类推，他们之间总会存在着距离，所以乌龟必定永远领先。

所以我们也永远也追不上乌龟，鉴定完毕。

等等，现实中的情况是，我们可以追上并抓住乌龟！

英国数学家、哲学家怀特海德曾说：“知道芝诺的人没有一个不想去否定他，所有人都认为这么做是值得的。”

既然这么做是值得的，那么就让我们一起来看一看：芝诺悖论究竟错在哪里了呢？

这一则悖论里面有一个关键的点——永远，即芝诺的叙述里面包含着如果空间可以无限划分，那么必定有一个无限的时间与之对应这一层含义。

但是，空间的无限分割并不意味着有一个无限的时间与之对应！

假设阿基里斯的速度是10，乌龟的速度是1，他们之间的距离是10，那么阿基里斯追赶乌龟所用的时间可以用1+0.1+0.01+……=10/9来表示，这是一个有限的时间！

即阿基里斯总可以在有限的时间内追上乌龟。

然而不幸的是，这是在知道阿基里斯可以追上乌龟的假定下进行的计算，至于他是如何追上乌龟的，这无法在数学中得到一个合理的解释。

后来，在量子力学里，科学家们发现了时间和空间的最小单位，即时间和空间都不是无限可分的，它们都有一个最小的单位。在普朗克长度处，空间不再可分，阿基里斯在这里追上了乌龟，从而在现实世界里表现出追上了乌龟。

2.

当然，芝诺提出的悖论不止这一个，他的一生提出了40个悖论（膜拜大佬），其中4个关于运动的悖论最为著名，除了上面提到的那个，还有3个：

1.二分悖论

一个人出发去一个目的地，他必须要先走完路程的1/2，再走完剩下路程的1/2，再走完剩下的1/2……以此类推，他永远也到达不了目的地。（不上学的好借口）

2.飞失不动悖论

把飞行的箭通过一段路程的时间分成无数瞬间，在每一个瞬间，飞矢都是静止的，而无数的瞬间组合成了这个时间段，因而飞矢是静止的。

3.队列悖论

有两排学生，在某时刻，第一排学生左移一个单位，第二排学生右移一个单位，此时对第一排学生而言第二排学生移动了两个单位，即在半个时间单位里移动了一个距离单位，这就产生了半个时间单位等于一个时间单位的悖论，因此队列移动不了。

二分悖论和“追不上乌龟”悖论的解释是一样的，空间的无限分割并不意味着有一个无限的时间与之对应，况且空间并不是无限可分的，所以悖论是不存在的。

对于飞失不动悖论，其关键点在于“瞬间”，如果时间是无限可分的，那么这个“瞬间”是不存在的。如果时间不是无限可分的（实际情况也是这样），那么必然有一个最小的时间段，在这个时间段内，飞矢是运动的，故在整个时间内，飞矢是运动的。

而队列悖论，是相对运动的问题，相比前3个容易解释得多。

所以大家听懂了吗？

3.

芝诺悖论最早始于数学界，慢慢地从数学问题演变为了哲学问题，不仅难倒了许多数学家，也成功让大量的哲学家陷入了沉思。

今天我们所知晓的芝诺悖论，主要来源于亚里士多德的论述，然而他对芝诺悖论持批评态度，在很长的一段时间内，人们对他的引述及批评都是深信不疑的，认为芝诺悖论不过是一些有趣的谬见。

直到19世纪下半叶，学者们才开始重新研究芝诺，推测其理论在古代就没有得到完整、正确的报道，因而违背了芝诺的真正宗旨。

然而遗憾的是，迄今为止，数学界依然没有可靠的证据推翻亚里士多德对芝诺悖论的记述。

关于芝诺，英国著名数学家、哲学家罗素曾说道：“在这个变化无偿的世界上，没有什么比死后的声誉更变化无常了。死后得不到应有评价的莫过于芝诺了。但是芝诺为他从那时起到现在所创立的几乎所有关于时间、空间及无限的理论提供了土壤。”

纵观芝诺悖论的历史，大体上也就是连续性、无限大、无限小这些概念的历史。

柏拉图曾取笑芝诺只会耍耍小聪明，然而，现在看来，小小悖论，却是大智慧。

想了解更多有关数学史的小故事，欢迎关注公众号：小柚讲故事~