谁能追上乌龟?

设想一个这样的场景:

某天,你正在散步,发现前面100米处有一只乌龟在缓慢爬行,你想要抓住它,于是便加快了步伐。但是在追赶的过程中,出现了这样的情况:

当你走完这100米,乌龟向前走了10米;当你走完这10米,乌龟又向前走了1米,当你走完这1米,乌龟又向前走了0.1米……

你发现你永远不可能追上乌龟!

然而实际情况,好像不是这样的?


1.

上面那个场景,就是古希腊数学家芝诺提出的一个著名的悖论:

阿基里斯虽然是希腊跑得最快的英雄,但是他永远也追不上乌龟。因为他总是要先到达乌龟起步的那一点,而当他到达时乌龟早已离开,以此类推,他们之间总会存在着距离,所以乌龟必定永远领先。


所以我们也永远也追不上乌龟,鉴定完毕。

等等,现实中的情况是,我们可以追上并抓住乌龟!

英国数学家、哲学家怀特海德曾说:“知道芝诺的人没有一个不想去否定他,所有人都认为这么做是值得的。”


既然这么做是值得的,那么就让我们一起来看一看:芝诺悖论究竟错在哪里了呢?

这一则悖论里面有一个关键的点——永远,即芝诺的叙述里面包含着如果空间可以无限划分,那么必定有一个无限的时间与之对应这一层含义。

但是,空间的无限分割并不意味着有一个无限的时间与之对应!

假设阿基里斯的速度是10,乌龟的速度是1,他们之间的距离是10,那么阿基里斯追赶乌龟所用的时间可以用1+0.1+0.01+……=10/9来表示,这是一个有限的时间

即阿基里斯总可以在有限的时间内追上乌龟。

然而不幸的是,这是在知道阿基里斯可以追上乌龟的假定下进行的计算,至于他是如何追上乌龟的,这无法在数学中得到一个合理的解释。

后来,在量子力学里,科学家们发现了时间和空间的最小单位,即时间和空间都不是无限可分的,它们都有一个最小的单位。在普朗克长度处,空间不再可分,阿基里斯在这里追上了乌龟,从而在现实世界里表现出追上了乌龟。

2.

当然,芝诺提出的悖论不止这一个,他的一生提出了40个悖论(膜拜大佬),其中4个关于运动的悖论最为著名,除了上面提到的那个,还有3个:

1.二分悖论

一个人出发去一个目的地,他必须要先走完路程的1/2,再走完剩下路程的1/2,再走完剩下的1/2……以此类推,他永远也到达不了目的地。(不上学的好借口)

2.飞失不动悖论

把飞行的箭通过一段路程的时间分成无数瞬间,在每一个瞬间,飞矢都是静止的,而无数的瞬间组合成了这个时间段,因而飞矢是静止的。

3.队列悖论

有两排学生,在某时刻,第一排学生左移一个单位,第二排学生右移一个单位,此时对第一排学生而言第二排学生移动了两个单位,即在半个时间单位里移动了一个距离单位,这就产生了半个时间单位等于一个时间单位的悖论,因此队列移动不了。


二分悖论和“追不上乌龟”悖论的解释是一样的,空间的无限分割并不意味着有一个无限的时间与之对应,况且空间并不是无限可分的,所以悖论是不存在的。

对于飞失不动悖论,其关键点在于“瞬间”,如果时间是无限可分的,那么这个“瞬间”是不存在的。如果时间不是无限可分的(实际情况也是这样),那么必然有一个最小的时间段,在这个时间段内,飞矢是运动的,故在整个时间内,飞矢是运动的。

而队列悖论,是相对运动的问题,相比前3个容易解释得多。

所以大家听懂了吗?

3.

芝诺悖论最早始于数学界,慢慢地从数学问题演变为了哲学问题,不仅难倒了许多数学家,也成功让大量的哲学家陷入了沉思。


今天我们所知晓的芝诺悖论,主要来源于亚里士多德的论述,然而他对芝诺悖论持批评态度,在很长的一段时间内,人们对他的引述及批评都是深信不疑的,认为芝诺悖论不过是一些有趣的谬见。

直到19世纪下半叶,学者们才开始重新研究芝诺,推测其理论在古代就没有得到完整、正确的报道,因而违背了芝诺的真正宗旨。

然而遗憾的是,迄今为止,数学界依然没有可靠的证据推翻亚里士多德对芝诺悖论的记述。

关于芝诺,英国著名数学家、哲学家罗素曾说道:“在这个变化无偿的世界上,没有什么比死后的声誉更变化无常了。死后得不到应有评价的莫过于芝诺了。但是芝诺为他从那时起到现在所创立的几乎所有关于时间、空间及无限的理论提供了土壤。

纵观芝诺悖论的历史,大体上也就是连续性、无限大、无限小这些概念的历史。

柏拉图曾取笑芝诺只会耍耍小聪明,然而,现在看来,小小悖论,却是大智慧。

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