Unity | Shader基础知识番外(向量数学知识速成)

目录

一、向量定义

二、计算向量

三、向量的加法(连续行走)

四、向量的长度

五、单位向量

六、向量的点积

1 计算

2 作用

七、向量的叉乘

1 承上启下

2 叉乘结论

3 叉乘的计算(这里看不懂就百度叉乘计算)

八、欢迎收看Shader专栏


一、向量定义

向量:从一个点到另一个点的箭头。

例:假如现在有两个点,A(0,0)和B点(4,5)。

假如从A走向B(如图1),箭头为:

Unity | Shader基础知识番外(向量数学知识速成)_第1张图片 图1 向量AB

假如从B走向A(如图2),箭头为:

Unity | Shader基础知识番外(向量数学知识速成)_第2张图片 图2 向量BA

我们会用A(0,0)表示点A,

我们会用B(4,5)表示点B,

问题,我们用什么表示和区分这两个箭头?

答:如果从A走向B,我们就写成\vec{AB},如果从B走向A,就写成\vec{BA}(是不是很形象)。

字母确定了,可数字怎么办?

答:因为横坐标x是向左为正,纵坐标y是向上为正。

我们从A(0,0)走向B(4,5)等于向右走4格,向上走5格,所以是\vec{AB}(4,5),

反之,如果从B(4,5)走向A(0,0)等于向左走4格,向下走5格,所以是\vec{BA}(-4,-5),

所以在表达向量时,写的是箭头起点到箭头终点是如何走过去。

二、计算向量

(如图3)如果我们随意画出两个点A(1,3),B(4,5)

Unity | Shader基础知识番外(向量数学知识速成)_第3张图片 图3 向量AB

通过数格子,我们可以得出\vec{AB}(3,2),但这个数字,我们也可以算出来,通过终点的B(4,5)中的x减去A(1,3)的x:4-1=3,通过终点的B(4,5)中的y减去A(1,3)的y:5-3=2

也可以得出:\vec{AB}(3,2)

所以:终点的坐标,减去起点的坐标,就是向量的数值

三、向量的加法(连续行走)

(如图4)我们画两个连着的向量\vec{AB}(1,3)和\vec{BC}(3,2)

Unity | Shader基础知识番外(向量数学知识速成)_第4张图片 如图4 向量由A到C

从图中(如图5)我们可以看出,我们从A走到B,又从B走到C,这种连着走的向量我们可以相加,实际上两个向量就是从A走到了C,横着向右走了4格,向上走了5格。

\vec{AB}(1,3)+\vec{BC}(3,2)=\vec{AC}(1+3,3+2)=\vec{AC}(4,5)

Unity | Shader基础知识番外(向量数学知识速成)_第5张图片 图5 向量AC

四、向量的长度

(如图6)假如我希望计算\vec{AC}(4,5)的长度,通过我们学过的勾股定理就得出

AC = \sqrt{4^{2}+5^{2}}

Unity | Shader基础知识番外(向量数学知识速成)_第6张图片 图6 向量AC

所以:向量的长度为\sqrt{x^{2}+y^{2}}

五、单位向量

单位向量:向量长度是1

把任何一个向量变成单位向量,只需要除以向量的长度。

例:向量(3,4),长度是5,希望长度变为1,就直接集体除以5。

所以,向量(3,4)的单位向量就是(3/5,4/5)。

六、向量的点积

1 计算

设向量a(1,2)和向量b(3,4)点乘

算法1:

\vec{a}\cdot \vec{b}=(x_{1}\times x_{2})+(y_{1}\times y_{2})=(1\times 3)+(2\times 4)=3+8=11

算法2:

\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|cos\theta=\sqrt{1^{2}+2^{2}}\sqrt{3^{2}+4^{2}}cos\theta

算法2算到这一步就停了,因为不知道cosθ,

可是算法1和算法2的结果是相同的。

\sqrt{1^{2}+2^{2}}\sqrt{3^{2}+4^{2}}cos\theta=11

所以,可以算出cos\theta=\frac{11}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=0.98

最后θ≈11.5°

2 作用

为啥要算点积?(我们把上面的向量a和向量b画出来)(如图7)

Unity | Shader基础知识番外(向量数学知识速成)_第7张图片 图7 向量A和向量B

我原本面向A(向量a),现在我想面向B,我应该旋转多少度?

答:刚才算过了:11.5°

备注(以下结论的推导过程自己百度):

\vec{a}\cdot \vec{b}>0        a和b的夹角0-90度之间

\vec{a}\cdot \vec{b}=0        a和b的夹角为90度

\vec{a}\cdot \vec{b}<0        a和b的夹角大于90度

七、向量的叉乘

1 承上启下

第六部分我们知道了旋转角度,不知道聪明的你有没有发现,其实,你只知道了角度,不知道是顺时针旋转还是逆时针旋转。叉乘就事帮助我们判断是哪个方向的旋转的。

2 叉乘结论

当叉乘结果<0        顺时针旋转

当叉乘结果>0        逆时针旋转

叉乘结果=0            不用旋转

3 叉乘的计算(这里看不懂就百度叉乘计算)

我们还是计算向量a(1,2)和向量b(3,4)叉乘,因为叉乘需要x,y,z才能计算,此时相当于我们的z是0,所以我们的向量为a(1,2,0)和向量b(3,4,0)。

Unity | Shader基础知识番外(向量数学知识速成)_第8张图片 图8 叉乘的计算

此时是-2<0所以,我们只需要逆时针旋转11.5°,就可以从向量a的方向变成向量b的方向。

八、欢迎收看Shader专栏

https://blog.csdn.net/weixin_49427945/category_12525804.html

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