【数据结构】算法的时间复杂度和空间复杂度
简单不先于复杂，而是在复杂之后。
文章目录
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- 1. 算法效率
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- 1.1 如何衡量一个算法的好坏
- 1.2 算法的复杂度
- 2.时间复杂度
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- 2.1 时间复杂度的概念
- 2.2 大O的渐进表示法
- 2.3 常见时间复杂度计算举例
- 3. 空间复杂度
- 4. 常见复杂度对比
- 5. 复杂度的oj练习
1. 算法效率
1.1 如何衡量一个算法的好坏
怎么衡量一个算法的好坏？比如对于以下斐波那契数列：
long long Fib(int N) { if (N < 3) return 1; return Fib(N - 1) + Fib(N - 2); }斐波那契数列的递归实现方式非常简洁，但是简洁一定好吗？
1.2 算法的复杂度
算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间资源。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。
时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。
在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小，所以对空间复杂度很是在乎。
但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。
所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。
2.时间复杂度
2.1 时间复杂度的概念
时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。
一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有把程序放在机器上跑起来，才能知道。
但是我们不能保证每个算法都上机测试，很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。
一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。
即：找到某条基本语句与问题规模 N 之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。
计算时间复杂度不可以纯粹数循环，要看算法逻辑，进行计算时间复杂度。
// 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？
void Func1(int N)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < N; ++i)
{
for (int j = 0; j < N; ++j)
{
++count;
}
}
for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
{
++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}
Func1执行的基本操作次数：
实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法。
2.2 大O的渐进表示法
大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大O阶方法：
- 用常数 1 取代运行时间中的所有加法常数。
- 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
- 如果最高阶项系数存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶
使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：
O(N^2)
- N = 10 F(N) = 100
- N = 100 F(N) = 10000
- N = 1000 F(N) = 1000000
通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。
另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：
最坏情况：任意输入规模的最大运行次数（上界）
平均情况·：任意输入规模的期望运行次数
最好情况：任意输入规模的最小运行次数（下界）
例如：在一个长度为 N 的数组中搜索一个数据 x
最好情况：1次找到
最坏情况：N次找到
平均情况：N/2次找到
在实际中一般关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)
2.3 常见时间复杂度计算举例
实例1：
//计算Func2的时间复杂度? void Func2(int N) { int count = 0; for (int k = 0; k < 2 * N; ++k) { ++count; } int M = 10; while (M--) { ++count; } printf("%d\n", count); }2*N + 10
O(N)
实例2：
void Func2(int N) { int count = 0; for (int k = 0; k < 2 * N; ++k) { ++count; } int M = 10; while (M--) { ++count; } printf("%d\n", count); }O(M+N)
M远大于N O(M)
N远大于M O(N)
M 和 N 一样大 O(N) 或 O(M)
实例3：
//计算Func4的时间复杂度？ void Func4(int N) { int count = 0; for (int k = 0; k < 100; ++k) { ++count; } printf("%d\n", count); }O(1)
并不代表是1次，代表常数次
实例4：
// 计算strchr的时间复杂度？ const char * strchr ( const char * str, int character );strchr: 遍历一个字符串数组，找一个字符
时间复杂度：O(N)
最好情况：O(1)
最坏情况：O(N) 要关注最坏的运行情况，作悲观保守的预估
平均情况：O(N/2)
实例5：
//计算BubbleSort的时间复杂度？ void BubbleSort(int* a, int n) { assert(a); for (size_t end = n; end > 0; --end) { int exchange = 0; for (size_t i = 1; i < end; ++i) { if (a[i - 1] > a[i]) { Swap(&a[i - 1], &a[i]); exchange = 1; } } if (exchange == 0) break; } }
最好情况是 O(N)，如果遍历一遍没有发生交换，直接跳出循环。
实例6：
使用二分查找的条件：数组的数据是有序的
// 计算BinarySearch的时间复杂度？ int BinarySearch(int* a, int n, int x) { assert(a); int begin = 0; int end = n - 1; // [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号 while (begin <= end) { int mid = begin + ((end - begin) >> 1); if (a[mid] < x) begin = mid + 1; else if (a[mid] > x) end = mid - 1; else return mid; } return -1; }
实例7：
// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？ long long Fac(size_t N) { if (1 == N) return 1; return Fac(N - 1) * N; }时间复杂度是O(N)
实例8：
// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？ long long Fib(size_t N) { if (N < 3) return 1; return Fib(N - 1) + Fib(N - 2); }
时间复杂度：O(2N)
3. 空间复杂度
空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时（额外）占用存储空间大小的量度。
空间复杂度不是程序占用了多少 bytes 的空间，空间复杂度算的是变量的个数。
空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似，使用大O渐进表示法。
我们不太关注空间复杂度，因为现在设备存储空间都比较大。
注意：函数运行时所需要的栈空间（存储参数，局部变量、一些寄存器信息等）在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时显示申请的额外空间来确定。
实例1：
// 计算BubbleSort的空间复杂度？ void BubbleSort(int* a, int n) { assert(a); for (size_t end = n; end > 0; --end) { int exchange = 0; for (size_t i = 1; i < end; ++i) { if (a[i - 1] > a[i]) { Swap(&a[i - 1], &a[i]); exchange = 1; } } if (exchange == 0) break; } }空间复杂度：O(1)
参数传过来的是作为条件已经提供的空间，只有算法思想的需要额外开辟空间才算空间复杂度。
对于循环中的 end 、exchange 和 i ,他们是在局部域里的，每一次循环结束都要销毁，在栈区中的空间可以重复利用。
实例2：
// 计算Fibonacci的空间复杂度？ // 返回斐波那契数列的前n项 long long* Fibonacci(size_t n) { if (n == 0) return NULL; long long* fibArray = (long long*)malloc((n + 1) * sizeof(long long)); fibArray[0] = 0; fibArray[1] = 1; for (int i = 2; i <= n; ++i) { fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray[i - 2]; } return fibArray; }空间复杂度: O(N)
额外动态开辟了一个数组。
实例3:
// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？ long long Fac(size_t N) { if (N == 0) return 1; return Fac(N - 1) * N; }空间复杂度是O(N)
递归的时候每次调用函数要创建栈帧，每次调用的函数栈帧是常数个，调用N+1次函数，所以空间复杂度是O(N)。
递归实现的斐波那契数列的空间复杂度为 O(N)，这是因为在递归调用的过程中，系统会使用一个调用栈（call stack）来存储每次递归调用的信息。每次调用都会占用一些栈空间，而递归的深度就是计算斐波那契数列的参数 n 的值。
在斐波那契数列的递归实现中，对于每个 n，会有两个递归调用，即 F(n-1) 和 F(n-2)。这样的递归结构形成了一个二叉树，其中每个节点表示一个递归调用。因此，递归调用的深度就是二叉树的高度，即 N。
在计算斐波那契数列时，每一层的递归调用都会占用一些栈空间。由于递归深度为 N，所以空间复杂度是 O(N)。
4. 常见复杂度对比
一般算法常见的复杂度如下：
| 5212351345 | O(1) | 常数阶 |
|---|---|---|
| 3n+4 | O(n) | 线性阶 |
| 3n2+4n+5 | O(n2) | 平方阶 |
| 3log(2)n+4 | O(logn) | 对数阶 |
| 2n+3nlog(2)n+14 | O(nlogn) | nlogn阶 |
| n3+2n2+4n+6 | O(n3) | 立方阶 |
| 2n | O(2n) | 指数阶 |
5. 复杂度的oj练习
消失的数字
oj链接：https://leetcode-cn.com/problems/missing-number-lcci
轮转数组
oj链接：https://leetcode-cn.com/problems/rotate-array
//第三种思路的实现
//[begin, end]
void reverse(int* nums,int begin,int end)
{
while(begin < end)
{
int tmp = nums[begin];
nums[begin] = nums[end];
nums[end] = tmp;
++begin;
--end;
}
}
void rotate(int* nums, int numsize, int k)
{
if(k >= numsize)
k %= numsize;
reverse(nums,0,numsize - k -1);
reverse(nums,numsize - k, numsize - 1);
reverse(nums,0,numsize-1);
}