【线性代数系列】第二章 矩阵运算性质权威总结

【线性代数系列】第二章 矩阵运算性质权威总结

1. 矩阵加法

交换律：

对于两个矩阵$A$和$B$，$A+B=B+A$。

结合律：

对于三个矩阵$A$、$B$和$C$，$(A+B)+C=A+(B+C)$。

零元素：

存在一个零矩阵$O$，使得$A+O=A$ 对于任意矩阵$A$成立。

负元素：

对于每个矩阵$A$，存在一个负矩阵$-B$ ，使得$A+(-B)=O$ ，其中$O$是零矩阵

2.矩阵乘法

数乘矩阵：

对于标量k和矩阵$A、B$, $k(A+B)=kA+kB$。

对于标量k v和矩阵$A、B，(kv)A=k(vB)$。

$A、B，(k+v)A=kB+vB$。

矩阵乘法：

结合律 分配律

1. 对于三个矩阵$A、B$和$C$，$(AB)C=A(BC)$。

2. 矩阵乘法与数乘的结合律：

   对于标量$k$和矩阵$A$，$k(AB)=(kA)B=A(kB)$。

3. 单位矩阵的乘法特性：

   对于任何矩阵$A$，$AI=IA=A$，其中$I$是单位矩阵。

4. 对于矩阵A、B和C，乘法分配律规定如下：

   1. 左分配律：$ A(B + C) = AB + AC$
      即，将一个矩阵$（A）$与两个矩阵之和$（B+C）$相乘，等于将该矩阵与每个矩阵分别相乘后再求和。

   2. 右分配律：$(A+B)C=AC+BC$
      即，将两个矩阵之和$（A+B）$与一个矩阵$（C）$相乘，等于将每个矩阵分别与该矩阵相乘后再求和。

   这些分配律类似于数字的乘法分配律，但需要注意的是，矩阵乘法不满足交换律$（AB\ne BA）$，因此分配律的顺序不能颠倒。

5. 矩阵的幂运算：

   对于一个方阵A和正整数$n$，定义$A$的n次幂为$A^n=A\ast A\ast ...\ast A$（共计n个A相乘）。例如，$A^2=A\ast A，A^3=A\ast A\ast A$ 。

​ 注意一般 $(AB{)}^n\ne A^n{B}^n$ 只有满足$AB$ 可以交换时才相等

交换律

矩阵乘法不满足交换律$（AB\ne BA）$，因此分配律的顺序不能颠倒

3. 矩阵转置

转置（Transpose）是一种常见的矩阵运算，它对矩阵的行和列进行互换。

转置操作具有以下运算性质：

转置的转置：

对于任意矩阵$A$，$(A^T{)}^T=A$ 。

即对矩阵进行两次转置，等于恢复原始矩阵。

转置的加法：

对于矩阵$A$和$B$，$(A + B)^T = A^T + B^T $ 。

即矩阵相加后进行转置，等于先转置再相加。

转置的数乘：

对于标量k和矩阵$A$，$(kA)^T = kA^T $ 。

即矩阵与标量的乘积进行转置，等于标量与矩阵转置的乘积。

转置的矩阵乘法：

对于矩阵$A$和$B$ ，$ (AB)^T = B^T A^T $。即两个矩阵相乘后进行转置，等于每个矩阵转置后再相乘，且顺序相反。

转置的迹：

对于矩阵$A$ ，$tr(A) = tr(A^T) $。即矩阵的迹不受转置操作的影响。

4.方阵行列式

方阵（即行数和列数相等的矩阵）的行列式具有一些重要的性质和规则。

以下是方阵的行列式性质：

交换律：

对于方阵A和B，有$det(AB) = det(BA) $。即方阵乘积的行列式等于乘积顺序颠倒时的行列式。

转置的性质：

对于方阵A，有$det(A^T)=det(A)$ 。即方阵转置后的行列式等于原始矩阵的行列式。

逆矩阵的性质：

对于可逆方阵A，有$ det(A^{-1}) = \frac{1}{det(A)} $。即可逆方阵的逆矩阵的行列式等于原始矩阵的行列式的倒数。

缩放的性质：

对于方阵A和标量k，有$ det(kA) = k^n * det(A) $，其中n为方阵A的维度。即对方阵进行整体缩放，行列式等于原始矩阵的行列式乘以缩放因子的n次幂。

行列式的乘法：

对于方阵A和B，有$det(AB) = det(A) * det(B) $。即方阵乘积的行列式等于各个矩阵行列式的乘积。

行列式的零元素：

如果方阵A中存在一行（或一列）全为零，则det(A) = 0。即方阵的行列式为零，当且仅当矩阵中存在一行（或一列）全为零。