【线性代数系列】第二章 矩阵运算性质权威总结
【线性代数系列】第二章 矩阵运算性质权威总结
文章目录
- 【线性代数系列】第二章 矩阵运算性质权威总结
- 1. 矩阵加法
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- 交换律：
- 结合律：
- 零元素：
- 负元素：
- 2.矩阵乘法
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- 数乘矩阵：
- 矩阵乘法：
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- 结合律 分配律
- 交换律
- 3. 矩阵转置
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- 转置的转置：
- 转置的加法：
- 转置的数乘：
- 转置的矩阵乘法：
- 转置的迹：
- 4.方阵行列式
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- 交换律：
- 转置的性质：
- 逆矩阵的性质：
- 缩放的性质：
- 行列式的乘法：
- 行列式的零元素：
1. 矩阵加法
交换律：
对于两个矩阵 A A A和 B B B， A + B = B + A A + B = B + A A+B=B+A。
结合律：
对于三个矩阵 A A A、 B B B和 C C C， ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (A + B) + C = A + (B + C) (A+B)+C=A+(B+C)。
零元素：
存在一个零矩阵 O O O，使得 A + O = A A + O = A A+O=A 对于任意矩阵 A A A成立。
负元素：
对于每个矩阵 A A A，存在一个负矩阵 − B -B −B ，使得 A + ( − B ) = O A + (-B) = O A+(−B)=O ，其中 O O O是零矩阵
2.矩阵乘法
数乘矩阵：
对于标量k和矩阵 A 、 B A、B A、B, k ( A + B ) = k A + k B k(A + B) = kA + kB k(A+B)=kA+kB。
对于标量k v和矩阵 A 、 B ， ( k v ) A = k ( v B ) A、B，(kv)A = k(vB) A、B，(kv)A=k(vB)。
A 、 B ， ( k + v ) A = k B + v B A、B，(k+v)A = kB+vB A、B，(k+v)A=kB+vB。
矩阵乘法：
结合律 分配律
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对于三个矩阵 A 、 B A、B A、B和 C C C， ( A B ) C = A ( B C ) (AB)C = A(BC) (AB)C=A(BC)。
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矩阵乘法与数乘的结合律：
对于标量 k k k和矩阵 A A A， k ( A B ) = ( k A ) B = A ( k B ) k(AB) = (kA)B = A(kB) k(AB)=(kA)B=A(kB)。
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单位矩阵的乘法特性：
对于任何矩阵 A A A， A I = I A = A AI = IA = A AI=IA=A，其中 I I I是单位矩阵。
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对于矩阵A、B和C，乘法分配律规定如下：
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左分配律：$ A(B + C) = AB + AC$
即，将一个矩阵 （ A ） （A） （A）与两个矩阵之和 （ B + C ） （B + C） （B+C）相乘，等于将该矩阵与每个矩阵分别相乘后再求和。 -
右分配律： ( A + B ) C = A C + B C (A + B)C = AC + BC (A+B)C=AC+BC
即，将两个矩阵之和 （ A + B ） （A + B） （A+B）与一个矩阵 （ C ） （C） （C）相乘，等于将每个矩阵分别与该矩阵相乘后再求和。
这些分配律类似于数字的乘法分配律，但需要注意的是，矩阵乘法不满足交换律 （ A B ≠ B A ） （AB ≠ BA） （AB=BA），因此分配律的顺序不能颠倒。
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矩阵的幂运算：
对于一个方阵A和正整数 n n n，定义 A A A的n次幂为 A n = A ∗ A ∗ . . . ∗ A A^n = A * A * ... * A An=A∗A∗...∗A（共计n个A相乘）。例如， A 2 = A ∗ A ， A 3 = A ∗ A ∗ A A^2 = A * A，A^3 = A * A * A A2=A∗A，A3=A∗A∗A 。
注意一般 ( A B ) n ≠ A n B n (AB)^{n}≠ A^nB^n (AB)n=AnBn 只有满足 A B AB AB 可以交换时才相等
交换律
矩阵乘法不满足交换律 （ A B ≠ B A ） （AB ≠ BA） （AB=BA），因此分配律的顺序不能颠倒
3. 矩阵转置
转置（Transpose）是一种常见的矩阵运算，它对矩阵的行和列进行互换。
转置操作具有以下运算性质：
转置的转置：
对于任意矩阵 A A A， ( A T ) T = A (A^T)^T = A (AT)T=A 。
即对矩阵进行两次转置，等于恢复原始矩阵。
转置的加法：
对于矩阵 A A A和 B B B，$(A + B)^T = A^T + B^T $ 。
即矩阵相加后进行转置，等于先转置再相加。
转置的数乘：
对于标量k和矩阵 A A A，$(kA)^T = kA^T $ 。
即矩阵与标量的乘积进行转置，等于标量与矩阵转置的乘积。
转置的矩阵乘法：
对于矩阵 A A A和 B B B ，$ (AB)^T = B^T A^T $。即两个矩阵相乘后进行转置，等于每个矩阵转置后再相乘，且顺序相反。
转置的迹：
对于矩阵 A A A ，$tr(A) = tr(A^T) $。即矩阵的迹不受转置操作的影响。
4.方阵行列式
方阵（即行数和列数相等的矩阵）的行列式具有一些重要的性质和规则。
以下是方阵的行列式性质：
交换律：
对于方阵A和B，有$det(AB) = det(BA) $。即方阵乘积的行列式等于乘积顺序颠倒时的行列式。
转置的性质：
对于方阵A，有 d e t ( A T ) = d e t ( A ) det(A^T) = det(A) det(AT)=det(A) 。即方阵转置后的行列式等于原始矩阵的行列式。
逆矩阵的性质：
对于可逆方阵A，有$ det(A^{-1}) = \frac{1}{det(A)} $。即可逆方阵的逆矩阵的行列式等于原始矩阵的行列式的倒数。
缩放的性质：
对于方阵A和标量k，有$ det(kA) = k^n * det(A) $，其中n为方阵A的维度。即对方阵进行整体缩放，行列式等于原始矩阵的行列式乘以缩放因子的n次幂。
行列式的乘法：
对于方阵A和B，有$det(AB) = det(A) * det(B) $。即方阵乘积的行列式等于各个矩阵行列式的乘积。
行列式的零元素：
如果方阵A中存在一行（或一列）全为零，则det(A) = 0。即方阵的行列式为零，当且仅当矩阵中存在一行（或一列）全为零。