Java学习苦旅(十八)——详解Java中的二叉树

本篇博客将详细讲解二叉树

文章目录

  • 树型结构
    • 简介
    • 基本概念
    • 表示形式
  • 二叉树
    • 概念
    • 两种特殊的二叉树
    • 二叉树的性质
    • 二叉树的存储
    • 二叉树的简单创建
    • 二叉树的遍历
      • 前中后序遍历
      • 层序遍历
  • 结尾

树型结构

简介

树是一种非线性的数据结构,它是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。它具有以下的特点:

  • 有一个特殊的结点,称为根结点,根结点没有前驱结点

  • 除根结点外,其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm,其中每一个集合 Ti (1 <= i<= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱,可以有0个或多个后继。

  • 树是递归定义的。

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注意:树形结构中,子树之间不能有交集,否则就不是树形结构。

基本概念

结点的度:一个结点含有子树的个数称为该结点的度; 如上图:A的度为6

树的度:一棵树中,所有结点度的最大值称为树的度; 如上图:树的度为6

叶子结点或终端结点:度为0的结点称为叶结点; 如上图:B、C、H、I…等节点为叶结点

双亲结点或父结点:若一个结点含有子结点,则这个结点称为其子结点的父结点; 如上图:A是B的父结点

孩子结点或子结点:一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点; 如上图:B是A的孩子结点

根结点:一棵树中,没有双亲结点的结点;如上图:A

结点的层次:从根开始定义起,根为第1层,根的子结点为第2层,以此类推

树的高度或深度:最大的深度是树的高度,如上图,树的高度为4

非终端结点或分支结点:度不为0的结点; 如上图:D、E、F、G…等节点为分支结点

兄弟结点:具有相同父结点的结点互称为兄弟结点; 如上图:B、C是兄弟结点

堂兄弟结点:双亲在同一层的结点互为堂兄弟;如上图:H、I互为兄弟结点

结点的祖先:从根到该结点所经分支上的所有结点;如上图:A是所有结点的祖先

子孙:以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图:所有结点都是A的子孙

森林:由m(m>=0)棵互不相交的树组成的集合称为森林

表示形式

树结构相对线性表就比较复杂了,要存储表示起来就比较麻烦了,实际中树有很多种表示方式,如:双亲表示法,孩子表示法,孩子双亲表示法,孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法

class Node {
    int value;//树中存储的数据
    Node firstChild;//第一个孩子引用
    NOde nextBrother;//下一个兄弟引用
}

例如:

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二叉树

概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合,该集合:

  1. 要么为空。

  2. 要么是由一个根节点加上两棵被称为左子树右子树的二叉树组成。

Java学习苦旅(十八)——详解Java中的二叉树_第3张图片

从上图可以看出:

  1. 二叉树不存在度大于2的结点。

  2. 二叉树的子树有左右之分,次序不能颠倒,因此二叉树是有序树。

注意:对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的:

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两种特殊的二叉树

  1. 满二叉树:一棵二叉树,如果每层的结点数都达到最大值,则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说,如果一棵二叉树的层数为K,且结点总数是2K-1,则它就是满二叉树。

  2. 完全二叉树:完全二叉树是效率很高的数据结构,完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的,有n个结点的二叉树,当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

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二叉树的性质

  1. 若规定根结点的层数为1,则一棵非空二叉树的第i层上最多有2i-1(i>0)个结点

  2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1,则深度为K的二叉树的最大结点数是2K-1(k>=0)

  3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为n0,度为2的非叶结点个数为n2,则有n0=n2+1

  4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为log2(n+1)上取整

  5. 对于具有n个结点的完全二叉树,如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号,则对于序号为i的结点有:

  • 若i>0,双亲序号:(i-1)/2;i=0,i为根结点编号,无双亲结点

  • 若2i+1

  • 若2i+2

二叉树的存储

二叉树的存储结构分为:顺序存储类似于链表的链式存储

本篇博客先讲解链式存储。

二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的,常见的表示方式有二叉和三叉表示方式,具体如下:

//孩子表示法
class Node {
    int val;//数据域
    Node left;//左孩子的引用
    Node right;//右孩子的引用
}

//孩子双亲表示法
class Node {
    int val;//数据域
    Node left;//左孩子的引用
    Node right;//右孩子的引用
    Node parent;//当前节点的根节点
}

二叉树的简单创建

简单创建一个二叉树(不是真正创建二叉树的方式):

class BTNode {
    public char val;
    public BTNode left;
    public BTNode right;
    public BTNode(char val) {
        this.val = val;
    }
}

public class BinaryTree {
    public BTNode createTree() {
        BTNode A = new BTNode('A');
        BTNode B = new BTNode('B');
        BTNode C = new BTNode('C');
        BTNode D = new BTNode('D');
        BTNode E = new BTNode('E');
        BTNode F = new BTNode('F');
        BTNode G = new BTNode('G');
        BTNode H = new BTNode('H'  ;
        A.left = B;
        A.right = C;
        B.left = D;
        B.right = E;
        C.left = F;
        C.right = G;
        E.right = H;
        return A;
    }
}

创建的二叉树为:

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二叉树的遍历

前中后序遍历

学习二叉树结构,最简单的方式就是遍历。所谓**遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线,依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。**访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如:打印节点内容、节点内容加1)。 遍历是二叉树上最重要的操作之一,是二叉树上进行其它运算之基础。

在遍历二叉树时,如果没有进行某种约定,每个人都按照自己的方式遍历,得出的结果就比较混乱,如果按照某种规则进行约定,则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。如果N代表根节点,L代表根节点的左子树,R代表根节点的右子树,则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式:

  • NLR:前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点—>根的左子树—>根的右子树。
  • LNR:中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树—>根节点—>根的右子树。
  • LRN:后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树—>根的右子树—>根节点。

实现代码如下:

//前序遍历
void preOrder(Node root) {
    if (root == null) {
        return;
    }
    System.out.print(root.val + " ");
    preOrder(root.left);
    preOrder(root.right);
}

//中序遍历
void inOrder(Node root) {
    if (root == null) {
        return;
    }
    inOrder(root.left);
    System.out.print(root.val + " ");
    inOrder(root.right);
}

//后序遍历
void postOrder(Node root) {
    if (root == null) {
        return;
    }
    postOrder(root.left);
    postOrder(root.right);
    System.out.print(root.val + " ");
}

层序遍历

层序遍历是从所在二叉树的根节点出发,首先访问第一层的树根节点,然后从左到右访问第2层上的节点,接着是第三层的节点,以此类推,自上而下,自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

示例代码

public void levelOrder(Node root) {
    Queue<Node> queue = new LinkedList<>();
    if (root == null) {
        return;
    }
    queue.offer(root);
    while (!queue.isEmpty()) {
        Node cur = queue.poll();
        System.out.print(cur.val + " ");
        if (cur.left != null) {
            queue.offer(cur.left);
        }
        if (cur.right != null) {
            queue.offer(cur.right);
        }
    }
}

结尾

本篇博客到此结束。
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