Java学习苦旅（十八）——详解Java中的二叉树

本篇博客将详细讲解二叉树

树型结构

简介

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

• 有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点

• 除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm，其中每一个集合 Ti (1 <= i<= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。

• 树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构。

基本概念

结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为6

树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为6

叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶结点

双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点

孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点

根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A

结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推

树的高度或深度：最大的深度是树的高度，如上图，树的高度为4

非终端结点或分支结点：度不为0的结点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支结点

兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点

堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点

结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先

子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙

森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

表示形式

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法，孩子双亲表示法，孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

class Node {
    int value;//树中存储的数据
    Node firstChild;//第一个孩子引用
    NOde nextBrother;//下一个兄弟引用
}

例如：

二叉树

概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

1. 要么为空。

2. 要么是由一个根节点加上两棵被称为左子树和右子树的二叉树组成。

从上图可以看出：

1. 二叉树不存在度大于2的结点。

2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

两种特殊的二叉树

1. 满二叉树：一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是2^K-1，则它就是满二叉树。

2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

二叉树的性质

1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^i-1(i>0)个结点

2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是2^K-1(k>=0)

3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为n₀，度为2的非叶结点个数为n₂，则有n₀＝n₂＋1

4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为log₂(n+1)上取整

5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

• 若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点

• 若2i+1

• 若2i+2

二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。

本篇博客先讲解链式存储。

二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：

//孩子表示法
class Node {
    int val;//数据域
    Node left;//左孩子的引用
    Node right;//右孩子的引用
}

//孩子双亲表示法
class Node {
    int val;//数据域
    Node left;//左孩子的引用
    Node right;//右孩子的引用
    Node parent;//当前节点的根节点
}

二叉树的简单创建

简单创建一个二叉树（不是真正创建二叉树的方式）：

class BTNode {
    public char val;
    public BTNode left;
    public BTNode right;
    public BTNode(char val) {
        this.val = val;
    }
}

public class BinaryTree {
    public BTNode createTree() {
        BTNode A = new BTNode('A');
        BTNode B = new BTNode('B');
        BTNode C = new BTNode('C');
        BTNode D = new BTNode('D');
        BTNode E = new BTNode('E');
        BTNode F = new BTNode('F');
        BTNode G = new BTNode('G');
        BTNode H = new BTNode('H'  ;
        A.left = B;
        A.right = C;
        B.left = D;
        B.right = E;
        C.left = F;
        C.right = G;
        E.right = H;
        return A;
    }
}

创建的二叉树为：

二叉树的遍历

前中后序遍历

学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓**遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。**访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加1)。 遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。

在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，如果按照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。如果N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：

• NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点—>根的左子树—>根的右子树。
• LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树—>根节点—>根的右子树。
• LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树—>根的右子树—>根节点。

实现代码如下：

//前序遍历
void preOrder(Node root) {
    if (root == null) {
        return;
    }
    System.out.print(root.val + " ");
    preOrder(root.left);
    preOrder(root.right);
}

//中序遍历
void inOrder(Node root) {
    if (root == null) {
        return;
    }
    inOrder(root.left);
    System.out.print(root.val + " ");
    inOrder(root.right);
}

//后序遍历
void postOrder(Node root) {
    if (root == null) {
        return;
    }
    postOrder(root.left);
    postOrder(root.right);
    System.out.print(root.val + " ");
}

层序遍历

层序遍历是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

示例代码

public void levelOrder(Node root) {
    Queue<Node> queue = new LinkedList<>();
    if (root == null) {
        return;
    }
    queue.offer(root);
    while (!queue.isEmpty()) {
        Node cur = queue.poll();
        System.out.print(cur.val + " ");
        if (cur.left != null) {
            queue.offer(cur.left);
        }
        if (cur.right != null) {
            queue.offer(cur.right);
        }
    }
}

结尾

本篇博客到此结束。
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