《线性代数》学习笔记 1

《麻省理工公开课:线性代数》—— 网易公开课

1 方程组的几何解释

二元一次方程组:

{ 2 x − y = 0 − x + 2 y = 3 \begin{cases} 2x-y=0 \\ -x+2y=3 \\ \end{cases} {2xy=0x+2y=3

矩阵形式:

[ 2 − 1 − 1 2 ] [ x y ] = [ 0 3 ] \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \end{bmatrix} [2112][xy]=[03]

记为: A x = b Ax = b Ax=b

列的组合形式:

x [ 2 − 1 ] + y [ − 1 2 ] = [ 0 3 ] x \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \end{bmatrix} x[21]+y[12]=[03]

乘法运算:

[ 2 5 1 3 ] [ 1 2 ] = 1 [ 1 2 ] + 2 [ 5 3 ] = [ 12 7 ] \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} = 1 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + 2 \begin{bmatrix} 5 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \\ 7 \end{bmatrix} [2153][12]=1[12]+2[53]=[127]

或者

[ 2 5 1 3 ] [ 1 2 ] = [ 2 × 1 + 5 × 2 1 × 1 + 3 × 2 ] = [ 12 7 ] \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \times 1 + 5 \times 2 \\ 1 \times 1 + 3 \times 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \\ 7 \end{bmatrix} [2153][12]=[2×1+5×21×1+3×2]=[127]

2 矩阵消元

{ x + 2 y + z = 2 3 x + 8 y + z = 12 4 y + z = 2 \begin{cases} x + 2y + z = 2 \\ 3x + 8y + z = 12 \\ 4y + z = 2 \\ \end{cases} x+2y+z=23x+8y+z=124y+z=2

记为: A x = b Ax = b Ax=b

消元过程:

[ 1 2 1 3 8 1 0 4 1 ] → [ 1 2 1 0 2 − 2 0 4 1 ] → [ 1 2 1 0 2 − 2 0 0 5 ] \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 4 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} 130284111100224121100220125

最后一个矩阵中,对角线1 2 5为主元,主元不能为0

扩展到增广矩阵:

[ 1 2 1 2 3 8 1 12 0 4 1 2 ] → [ 1 2 1 2 0 2 − 2 6 0 4 1 2 ] → [ 1 2 1 2 0 2 − 2 6 0 0 5 − 10 ] \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 3 & 8 & 1 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & 2 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & -2 & 6 \\ 0 & 4 & 1 & 2 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & -2 & 6 \\ 0 & 0 & 5 & -10 \end{bmatrix} 13028411121221002241212621002201252610

回代:

{ x + 2 y + z = 2 2 y − 2 z = 6 5 z = 10 \begin{cases} x + 2y + z = 2 \\ 2y -2z = 6 \\ 5z = 10 \\ \end{cases} x+2y+z=22y2z=65z=10

记为: U x = c Ux = c Ux=c

用矩阵乘法表示消元第一步:

[ 1 0 0 − 3 1 0 0 0 1 ] [ 1 2 1 3 8 1 0 4 1 ] = [ 1 2 1 0 2 − 2 0 4 1 ] \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 4 & 1 \end{bmatrix} 130010001130284111=100224121

整个消元过程为: E 32 ( E 21 A ) = ( E 32 E 21 ) A = U E_{32} ( E_{21} A) = (E_{32} E_{21}) A = U E32(E21A)=(E32E21)A=U

矩阵乘法满足结合律,不满足交换律。

逆矩阵:

[ 1 0 0 3 1 0 0 0 1 ] [ 1 0 0 − 3 1 0 0 0 1 ] = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} 130010001130010001=100010001

E − 1 E = I E^{-1} E = I E1E=I

3 乘法和逆矩阵

矩阵乘法:

A m × p B p × n = C m × n A_{m \times p} B_{p \times n} = C_{m \times n} Am×pBp×n=Cm×n

其 中 : C i j = ∑ k = 1 p a i k b k j , C i j 为 A 的 第 i 行 乘 以 B 的 第 j 列 其中:C_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik} b_{kj} , C_{ij} 为 A 的第 i 行乘以 B 的第 j 列 Cij=k=1paikbkjCijAiBj

C 的 每 一 列 可 看 作 A 的 列 的 线 性 组 合 C的每一列可看作A的列的线性组合 CA线
C 的 每 一 行 可 看 作 B 的 行 的 线 性 组 合 C的每一行可看作B的行的线性组合 CB线

A B = A 的 每 一 列 乘 以 B 的 每 一 行 的 和 A B = A的每一列乘以B的每一行的和 AB=AB

可以将矩阵分成块进行乘法。

逆矩阵:

非奇异矩阵:可逆
奇异矩阵:不可逆

G-J消元法求逆:

[ 1 3 1 0 2 7 0 1 ] → [ 1 3 1 0 0 1 − 2 1 ] → [ 1 0 7 − 3 0 1 − 2 1 ] \left[ \begin{array}{cc|cc} 1 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & 7 & 0 & 1 \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{cc|cc} 1 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 7 & -3 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \end{array} \right] [12371001][10311201][10017231]

4 A的LU分解

公 式 : 公式:
( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} (AB)1=B1A1
( A − 1 ) T = ( A T ) − 1 , A T 为 A 的 转 置 {(A^{-1}})^T={(A^{T}})^{-1}, A^{T}为A的转置 (A1)T=(AT)1,ATA

A 的 L U 分 解 : A的LU分解: ALU
E A = U EA=U EA=U
A = L U A=LU A=LU

令 A = [ 1 2 1 2 1 1 1 5 3 ] 令A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix} A=121215113

计 算 E A = U : 计算EA=U: EA=U

[ 1 0 0 − 2 1 0 − 1 0 1 ] [ 1 2 1 2 1 1 1 5 3 ] = [ 1 2 1 0 − 3 − 1 0 3 2 ] \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & -3 & -1 \\ 0 & 3 & 2 \end{bmatrix} 121010001121215113=100233112

[ 1 0 0 0 1 0 0 1 1 ] [ 1 2 1 0 − 3 − 1 0 3 2 ] = [ 1 2 1 0 − 3 − 1 0 0 1 ] = U \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & -3 & -1 \\ 0 & 3 & 2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & -3 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}=U 100011001100233112=100230111=U

则:
E = [ 1 0 0 0 1 0 0 1 1 ] [ 1 0 0 − 2 1 0 − 1 0 1 ] = [ 1 0 0 − 2 1 0 − 3 1 1 ] E=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ -3 & 1 & 1 \end{bmatrix} E=100011001121010001=123011001

计 算 A = L U , 同 上 : 计算A=LU,同上: A=LU

L = [ 1 0 0 2 1 0 1 0 1 ] [ 1 0 0 0 1 0 0 − 1 1 ] = [ 1 0 0 2 1 0 1 − 1 1 ] L=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix} L=121010001100011001=121011001

A=LU的形式比EA=U更好,因为L中的元素就是消元的乘数。

5 转置-置换-向量空间R

转置:将矩阵的行变成列,列变成行,记做 A T A^T AT
( A T ) i j = A j i (A^T)_{ij}=A_{ji} (AT)ij=Aji

置换:交换矩阵的行或列
置换矩阵是行重新排列的单位矩阵,记做 P P P
n阶置换矩阵个数为 n ! n! n!
P T = P − 1 P^T=P^{-1} PT=P1

对称矩阵: A T = A A^T=A AT=A
对 任 意 矩 阵 R , ( R T R ) T = R T R 对任意矩阵R,(R^TR)^T=R^TR R(RTR)T=RTR

对A进行置换后的LU分解:
P A = L U PA=LU PA=LU

向量空间:
有加法和数乘运算,空间中向量经过加法和数乘运算得到的新向量仍在该空间内(对线性组合封闭)。

举例:
R 2 : 实 数 组 成 的 2 维 空 间 R^2:实数组成的2维空间 R22
R 3 : 实 数 组 成 的 3 维 空 间 R^3:实数组成的3维空间 R33
R n : 实 数 组 成 的 n 维 空 间 R^n:实数组成的n维空间 Rnn

子空间:
举 例 , R 2 的 子 空 间 : 举例,R^2的子空间: R2
1 、 R 2 自 己 1、R^2自己 1R2
2 、 经 过 零 点 的 直 线 2、经过零点的直线 2线
3 、 单 个 0 向 量 , 记 做 Z 3、单个0向量,记做Z 30Z

矩阵构造子空间:
A = [ 1 3 2 3 4 1 ] A= \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{bmatrix} A=124331
A 中 每 一 列 是 R 3 中 的 向 量 , 这 两 列 组 成 的 空 间 为 R 3 的 子 空 间 , 称 作 列 空 间 , 记 做 C ( A ) 。 A中每一列是R^3中的向量,这两列组成的空间为R^3的子空间,称作列空间,记做C(A)。 AR3R3C(A)
几 何 上 , C ( A ) 构 成 一 个 平 面 。 几何上,C(A)构成一个平面。 C(A)

6 列空间和零空间

对 任 意 子 空 间 S 和 T , 交 集 S ⋂ T 是 子 空 间 。 对任意子空间S和T,交集 S \bigcap T 是子空间。 STST

设 A = [ 1 1 2 2 1 3 3 1 4 4 1 5 ] , 则 C ( A ) 是 R 4 的 子 空 间 。 设A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 4 \\ 4 & 1 & 5 \end{bmatrix},则C(A)是R^4的子空间。 A=123411112345C(A)R4

A x = b 有 解 , 当 且 仅 当 b 属 于 A 的 列 空 间 。 Ax=b有解,当且仅当b属于A的列空间。 Ax=bbA

零 空 间 : A x = 0 的 解 构 成 的 子 空 间 。 零空间:Ax=0的解构成的子空间。 Ax=0
在 本 例 中 零 空 间 是 一 条 直 线 。 在本例中零空间是一条直线。 线

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