More Comments on String theory on AdS3

review 了 一下 Kutasov and Seiberg的关于在AdS3背景下微扰弦的两篇文章。introduction 写的很好，这里也整理一下。

review这两篇文章是的目的是想学习最近用弦论技巧解一些deformed 2D CFT的一些工作。此外，还多少解释了我心里一直有的另外一个疑问：如何联系worldsheet 的 data 和target space 的 data。比如 如何比较spectrum， 如何比较I.O.M等等。

Heuristic

Brown and Henneaux 发现任何一个以AdS3为真空态的引力理论都有一个无穷维的对称性由两个独立的Virasoro 代数描述。从代数的角度分析，我们可以认为这个代数定义了一个共形场论（spacetime CFT）。我们也可以考虑引力理论就是弦论，弦论本身又是共形场论（worldsheet CFT）。一个自然的问题就是，这个CFT是怎么联系起来的。这个 spacetime CFT 也自然的理解为在AdS/CFT下的对偶CFT。这时我们就有了一个 worldsheetCFT/spacetimeCFT 的对偶。在一般的AdS/CFT的框架下 spacetime CFT的correlation function对应了AdS空间引力理论的“S-matrix”，而AdS空间又是worldsheetCFT的target space，target space 的“S-matrix” 对应了 worlsheet上面vertex的correlation function。所以最后spacetime CFT的算符的correlation function对应了 worldsheet CFT上vertex的correlation function。

Review

考虑三维的带有负宇宙常数的引力理论

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在真空，经典理论的运动方程的就是AdS3空间。三维的引力理论没有动力学的自由度。考虑边界条件还有规范变换发现，有些规范变化在边界条件下并不会为0，并且生成了2个Virasoro对称性。一般的说法是，Virasoro代数是存在在AdS3时空的边界上。其实更准确的说法是，大部分的引力的自由的是纯规范，确定规范后，会有剩余，这些剩余的自由度可以通过规范变换 变换到无穷远处。在微扰弦理论里面，选取洛伦兹不变的共形规范相当于在target space里面选取朗道规范。在朗道规范下，引力的物理自由度不是完全存在于边界上的，而是分布整个AdS空间。

所以我们要加入新的场，推广之前的理论

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再次求解经典的运动方程我们发现，发现所有的场都是确定的除了dilaton \phi的zero mode，也就是常数部分。这个常数是任意的，因为dilaton决定了弦论的耦合常数，所以弦论的耦合常数也是任意的。

场H可以理解为弦的背景场，所以可以认为是量子化的，代表了在AdS空间里弦的个数。

我们现在再在真空里加入一个规范场G，在worldsheet上有 current algebra描述

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同样的spacetime 的current algebra会对应一个在AdS边界上的current algebra。弦论的共形规范对应了朗道规范。剩余的自由度有一个谐函数表述。他们对应了一个自旋为1的有质量的粒子。这个粒子在无穷处不为0的mode就构成了上述的current algebra。和引力子一样，这个粒子也存在于整个AdS空间之中，对应了worldsheet上面的vertex operators。

我们还可以加入更多的结构来实现一个超对称理论。

some comments

上面的描述是完全从target space也就是引力理论来展开的。因为他们有直接的AdS/CFT对应到spacetime CFT。文章有趣的地方就是，如何从worldsheet的角度来描述。