数字信号处理笔记(上)

前言

数字信号处理简介
笔记对应的课程地址：哔哩哔哩搜：讲信号与系统的潘老师

1.绪论

1.基本概念：

​ 就是用数值计算的方法对信号进行处理

2.数字信号的来源：

​ 计算机输入输出

​ 基于数码设备的信号

​ 将模拟信号转化为数字信号

3.数字信号处理的实现：

​ 基于软件处理的数值计算

​ 基于软硬件结合的数字信号处理系统

4.数字信号处理的特点：

​ 灵活性

​ 高精度和高稳定性

​ 便于大规模集成

​ 模拟系统无法精确实现的性能

5.数字信号处理涉及的理论、实现技术与应用

​ 离散时间信号及运算

​ 傅里叶变化、Z变换和离散傅里叶变换

​ 滤波器设计

1.时域离散信号与时域离散系统

时域和频域的介绍
时域离散信号系统(discrete-time signal system)，是输入与输出均为时域离散信号的系统，本质上即处理时域离散信号的系统，它的功能是对输入信号序列进行变换后再输出。

1.2 时域离散信号

信号系统与数字信号处理的不同

两种时间信号的表示
信号的模拟频率与数字频率的关系

从模拟到数字需要的步骤：1.采样（sampling） 2.量化（quantization）
采样：使一个信号从关于时间的连续函数变成关于n（Integar）的离散函数，也叫序列。
序列的表示
1.用集合符号表示

2.公式表示：

3.图形表示

1.2.1常用典型序列

1.单位脉冲序列

单位脉冲序列可以进行加权—前边乘以个常数
移位—左右平移–左加右减

2.单位阶跃序列

注意：

也可以加权和移位

3.矩形序列

最后一个n对应N-1

单位脉冲序列的移位及其加权和表示任意序列

4.实指数序列


5.复指数序列

6.正弦序列

计算：计算正弦序列的周期

示例：

求多个正弦序列表达式的周期

分别求各自的，有一个没有周期，则总的就没有，如果都有，求其最小公倍数

7.周期序列

1.2.2 序列的计算

1.加和乘

将序列的N = 0点对齐以后再算，对位相乘不进位

2.移位、翻转、尺度变换

1.3 时域离散系统

1.时域离散系统的运算T[·]
例如：

上边例子中的+ X对应运算中的T，而x1(n)等对应[]中的点
当运算比较复杂时
采用黑盒子方法
重点：

系统的输入和输出满足卷积关系

1.3.1 线性系统

1.定义：
系统的输入和输出之间满足线性叠加原理的系统
2.判定原则：

例子


常见的

1.3.2 时不变系统

1.定义：
系统对于输入信号的运算关系在整个过程中不随时间变换
2.判定原则：

例子

1.3.3 线性时不变系统及其输入输出关系

1.定义：
同时满足线性和时不变的系统
2.系统的单位脉冲响应的定义：

3.系统输入输出关系：

序列卷积运算
1.公式：

2.求解：
1）解析法 -带公式
2）图解法
3）对位相乘相加法
3.序列卷积运算规则：

4.单位脉冲序列的卷积和特性

对位相乘相加法

1.3.4 系统的因果性和稳定性

1.因果性：
一般定义：
系统的输出不发生在输出之前

线性时不变系统具有因果律的充要条件：
系统的单位脉冲响应满足下式：

更一般的说，对于一个线性系统，其因果性就是在输入序列作用域系统前，系统储能（初始值）为0

示例：

2.稳定性
定义：
对有界输入系统产生的输出也是有界的
线性时不变系统稳定的充要条件：

系统的因果性和稳定性判断例题：

1.4 时域离散系统的数学模型–常系数差分方程

1.时域离散系统的基本单元–D延时


2.一阶时域离散系统的结构


求解常系数差分方程的方法
1.经典法 数学的方法
2.递推法 重点
3.Z变换法 最好的方法
递推法例子

1.5 模拟信号转化为数字信号

1.5.1采样定理与A/D转换

采样的频谱分析

2.时域离散信号和系统的频谱分析

2.1引言

2.2时域离散信号的傅里叶变换定义和性质

2.2.1 时域离散信号的傅里叶变换（DTFT）定义

1.采样信号的数学表示

采样信号的傅里叶变换：



序列傅里叶变换（FT）的定义：

FT存在条件：

序列的傅里叶反变换（IFT）：

2.典型序列的傅里叶变换
1）单位脉冲序列的傅里叶变换

2.2.2 时域离散信号傅里叶变换的性质

1.周期性

2.线性

3.时移与频移性质

4.时域卷积性质

5.频域卷积性质

6.帕斯维尔定理（能量定理）


7.对称性
1.复数的概念

2.共轭复数

实数没有虚部，它的共轭等于它自己
虚数的共轭

3.x(n)的复数性质

共轭序列：

几何表示法

对称性：


对于实序列的结论

2.3周期序列的傅里叶变换

连续时间信号的傅里叶变换的对称性

离散傅里叶变换的对偶性

2.5 序列的z变换

2.5.1 z变换的定义

序列傅里叶变换与z变换的关系

2.5.2典型序列的z变换

总结：
参考：序列的类型

2.5.3z变换的性质

常用典型序列z变换

1.线性

注意讨论收敛域

2.序列移位的性质

序列移位不会改变z变换的收敛域
右边序列：


例题：



3.序列乘以实指数序列

5.复共轭序列的z变换

6.初值定理

7.终值定理

8.时域卷积定理

9.复卷积定理
10.帕斯维尔定理（能量定理）

2.5.3 z反变换

1.概念

2.解决方法：
1）观察法

常除法



2）留数法
极点和零点

原理和步骤


右边序列的留数法

例题：






3）部分分式展开
a.单实极点的部分分式展开法

单实极点是指分母可以分解为多个一次项因式相乘，每个因式等于0的解都是实数的情况
展开步骤：

部分公式展开系数公式


例题：

b.重极点的部分分式展开
二重极点



c.共轭复数极点的z反变换

2.5.4z变换解差分方程

1.输入输出的z变换公式
典型的二阶常系数差分方程

电路系统差分方程的z变换公式


2.差分方程的一般解法

例题：


3.单位脉冲响应h(n)与系统函数H(z)


4.求系统的输出y(n)



部分分式展开

2.6 利用z变换分析系统的频响

2.6.1 频率响应函数与系统函数

1.频率响应函数
定义：
系统输出频率响应的特性

2.系统函数H(z)

3.两者关系

4.利用z变换法求系统频响的方法

例题：

例题：

超越z变换和傅里叶变换的频响特性总结

2.6.2系统零极点分布与频率响应

1.系统函数H(z)与零极点图

零极点图：零点用圆圈，极点用×，表示在同一坐标轴中

2.几何法绘制幅频响特性图原理


相频

绘制

3.系统零极点对频响特性的影响

综合例题

2.6.3 系统函数的极点分布于系统因果性稳定性

1.系统函数


2.系统因果性

3.系统的稳定性

例子

例题：