关键路径中最早/迟发生时间

概念：在AOE网中，顶点表示事件，弧表示活动，权表示活动持续的时间。一般求的是关键路径，而要求关键路径则要找到以下四个值

• 1.事件Vi的最早发生时间ve（i）
• 2.事件Vi的最迟发生时间vl（i）
• 3.活动ai的最早发生时间e（i）
• 4.活动ai的最迟发生时间l（i）
  例子：

求V4和a4的以上四个值（下面有全部活动和事件的参考）
1.事件Vi的最早发生时间ve（i）：要找事件（即图中顶点）的最早发生时间只需找到开始事件V0到该事件的最长路径即可，可以看到这里V0到V4有两条路，V0->V1->V4,权值为5，V0->V2->V4,权值为7，选其中最大的即为7，所以V4的最早发生时间为7天；

2.事件Vi的最迟发生时间vl（i）：最迟发生事件与上相反，要先找出最终事件的最长路径，为18，然后在减去从V8到V4中最长的路径，这里有V8->V6->V4,权值为11，V8->V7->V4,权值为11，得出V4的最迟发生时间为18-11=7天，注意这里是要减去最长路径，也就是要找到最短的路径。如果说V8<-V7<-V4的权值为12，那么V4的最迟发生时间就是18-12=6天；

3.活动ai的最早发生时间e（i）：这里可以看到a4前面只有a1，所以活动a4的最早发生时间e（i）就是a1的值6（不包含自己的值），对于活动a8来说，前面有两条路径：a1->a4和a2->a5选择其中最长的路径a1->a4为7，所以a8的最早发生时间为7；

4.活动ai的最迟发生时间l（i）：与事件Vi的最迟发生时间vl（i）相似，首先知道活动a4指向的事件V4，然后用最长路径18减去v8->v4之间的最长路径（包含了活动自己的权值），找到其中结果的较小值，所以活动ai的最迟发生时间l（i）就是MIN（18-2-9-1，18-4-7-1）为6；

以下为所有参考：




参考书籍：数据结构C语言版