zoj 2676 Network Wars 0-1分数规划+最小割
题目详解出自 论文 Amber-最小割模型在信息学竞赛中的应用
题目大意: 给出一个带权无向图 G = (V,E), 每条边 e属于E都有一个权值We，求一个割边集C,使得该割边集的平均边权最小，即最小化：
1. 
将等式转换,引入x向量，Xi取值为(0,1),得到0-1分数规划常规式:
2. 
将其转换得到一个关于
的一个函数：
3. 
其中
为单调递减函数, 当且仅当 = 0 , 为最优值.
然后我们可以二分枚举最优值 , 然后判定当前最优值是否符合要求.
判定思路: 对于每一条边权Wi 变换成了新的边权 
, 而向量X(x1,x2,..,xm)表示对应边取或者不取，所以根据其取与不取划分成一个ST集。
令取为1,则 函数就转换成了 最小割的容量了（即最大流）。
有个要注意的地方，一个是枚举的最优值是一个浮点数，还有就是当 < 0 时，必定是取得，因为它能使最优值尽可能小。
最终结果可以得出最优值后，然后在跑一次最大流，然后从源点S开始DFS标记所有可以访问到的顶点，然后求出所有取得边。注意
< 0 的边要特殊处理。因为是负值放进去计算不太方便。
#include<cstdio> #include<cstring> #include<cstdlib> #include<algorithm> #include<vector> using namespace std; const int inf = 0x3f3f3f3f; const int MAXN = 110; const double esp = 1e-8; int sign(double x){ return x<-esp?-1:(x>esp);} int n, m, Max; int S, N, T; struct Edge{ int u, v, nxt; double f; }edge[50101]; struct Edge_Info{ int a,b,c; void input(){ scanf("%d%d%d",&a,&b,&c); } }edge_info[550]; bool vis[MAXN]; int h[MAXN], vh[MAXN]; int head[MAXN], idx; void AddEdge(int a,int b,double f){ edge[idx].u = a, edge[idx].v = b, edge[idx].f = f; edge[idx].nxt = head[a], head[a] = idx++; edge[idx].u = b, edge[idx].v = a, edge[idx].f = 0; edge[idx].nxt = head[b], head[b] = idx++; } double CreateGraph(double MaxW){ memset( head, -1, sizeof(head)); idx = 0; double tmp_val = 0; for(int i = 1; i <= m; i++){ int a = edge_info[i].a, b = edge_info[i].b, c = edge_info[i].c; if( sign(c - MaxW) < 0 ) tmp_val += c-MaxW; else AddEdge(a,b,c-MaxW),AddEdge(b,a,c-MaxW); } return tmp_val; } double dfs(int u,double flow){ if(u == T) return flow; int tmp = h[u]+1; double sum = flow; for(int i = head[u]; ~i; i = edge[i].nxt){ if( sign(edge[i].f) > 0 && (h[ edge[i].v ]+1 == h[u])){ double p = dfs( edge[i].v, min(sum,edge[i].f)); edge[i].f -= p, edge[i^1].f += p, sum -= p; if( sign(sum)==0 || h[S]==N ) return flow-sum; } } for(int i = head[u]; ~i; i = edge[i].nxt ){ if( sign(edge[i].f) > 0 ) tmp = min(tmp,h[ edge[i].v ] ); } if( --vh[ h[u] ] == 0 ) h[S] = N; else ++vh[ h[u]=tmp+1 ]; return flow-sum; } double sap(){ double maxflow = 0; memset(h,0,sizeof(h)); memset(vh,0,sizeof(vh)); vh[0] = N; while( h[S] < N ) maxflow += dfs( S,inf ); return maxflow; } double Search( double l, double r ){ while( r-l > 1e-5 ){ double mid = (r+l)/2.0; double maxflow = CreateGraph( mid ); maxflow += sap(); if( sign(maxflow) < 0 ) r = mid; else l = mid; } return l; } void DFS(int u){ vis[u] = true; for(int i = head[u]; ~i; i = edge[i].nxt){ if( sign(edge[i].f) > 0 && !vis[ edge[i].v ] ) DFS( edge[i].v ); } } vector<int> res; int mp[MAXN][MAXN]; void solve(){ S = 1, T = n, N = n; double limit = Search( 0, Max ); double maxflow = CreateGraph( limit ); maxflow += sap(); res.clear(); memset(vis,0,sizeof(vis)); DFS(S); for(int i = 1; i <= m; i++){ mp[ edge_info[i].a ][ edge_info[i].b ] = i; mp[ edge_info[i].b ][ edge_info[i].a ] = i; if( sign(edge_info[i].c-limit) < 0 ) res.push_back(i); } for(int i = 0; i < idx; i += 2 ){ // 10000 int u = edge[i].u, v = edge[i].v; if( vis[u] && !vis[v] && sign( edge[i].f ) == 0 ){ //500 res.push_back( mp[u][v] ); } } sort( res.begin(), res.end() ); int num = res.size(); printf("%d\n", num ); for(int i = 0; i < num; i++) printf( i==0? "%d":" %d", res[i] ); printf("\n"); } int main(){ int Case = 1; while( scanf("%d%d",&n,&m) != EOF) { Max = 0; for(int i = 1; i <= m; i++){ edge_info[i].input(); Max = max( Max, edge_info[i].c ); } solve(); if( Case++ > 1 ) puts(""); } return 0; }