线性代数基础--矩阵

矩阵

 矩阵是由排列在矩形阵列中的数字或其他数学对象组成的表格结构。它由行和列组成，并且在数学和应用领域中广泛使用。

基本概念

1. 元素：矩阵中的每个数字称为元素。元素可以是实数、复数或其他数学对象。

2. 维度：矩阵的维度表示矩阵的行数和列数。一个 m × n 的矩阵有 m 行和 n 列。

3. 行向量和列向量：矩阵中的行可以看作是行向量，列可以看作是列向量。

4. 主对角线：矩阵从左上角到右下角的对角线称为主对角线。主对角线上的元素称为主对角元素。

5. 零矩阵：所有元素都为零的矩阵称为零矩阵，通常表示为 0。

6. 单位矩阵：主对角线上的元素全为 1，其余元素全为零的矩阵称为单位矩阵，通常表示为 I。

7. 矩阵运算：矩阵可以进行加法、减法和乘法运算。加法和减法的操作是逐个对应元素相加或相减。矩阵乘法是一种复合运算，需要满足乘法规则。

8. 转置：矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。

9. 逆矩阵：对于方阵 A，如果存在一个矩阵 B，使得 A × B = B × A = I，那么矩阵 B 称为矩阵 A 的逆矩阵。

矩阵一般使用大写字母表示

如下图所示，矩阵A表示由mxn个数排成 m行n列的数表

则A矩阵叫做m行n列矩阵，简称mxn矩阵。这mxn 个数叫做矩阵A的元素 ，a~ij~叫做矩阵A的第i行第j列的元素。 

方阵、对称矩阵、单位矩阵 

• 方阵

方阵是指行数和列数相等的矩阵。换句话说，方阵的维度为 n × n，其中 n 表示方阵的阶数。方阵可以是任意的维度，例如 2 × 2、3 × 3、4 × 4 等。

• 对称矩阵

对称矩阵是一种特殊类型的方阵，它满足矩阵的主对角线对称性，即矩阵中第 i 行第 j 列的元素等于第 j 行第 i 列的元素。换句话说，如果 A 是一个方阵，且对于所有的 i 和 j，都有 A(i, j) = A(j, i)，那么矩阵 A 就是对称矩阵。对称矩阵通常在许多领域中具有特殊的性质和应用，例如在线性代数中的特征值和特征向量计算中经常涉及到对称矩阵。

例如：

就是个对称矩阵。

• 单位矩阵

  单位矩阵是一个特殊的方阵，它的主对角线上的元素都是 1，而其余元素都是 0。单位矩阵的维度通常用 n 表示，表示一个 n × n 的方阵。单位矩阵通常用符号 I 表示。对于任何与单位矩阵相乘的矩阵 A，都会得到原始矩阵 A，即 A × I = I × A = A。单位矩阵在线性代数中扮演着类似于数字中的数字 1 的角色，它是矩阵乘法中的单位元素。

  

特点：主对角线都是1，其它位置是0

注意

对称矩阵、单位矩阵都是方阵！

矩阵的基本运算

• 矩阵的加减

矩阵的加减法就是矩阵的对应位置相加减

• 矩阵的数乘

  用实数与矩阵的每个元素相乘

  

• 转置

  矩阵的转置就是行变列，列变行，变成一个新的矩阵

  

注意

对称矩阵的转置矩阵是其本身！

例如：下面这个对称矩阵的转置矩阵仍是其本身

 矩阵乘法

矩阵和向量的乘法

矩阵T与向量a相乘

• 矩阵T的列数必须和向量a的元素个数一致
• 分别用矩阵的每一行与向量进行内积（点乘）运算，得到的数作为结果向量的某个元素
• 矩阵T实际上将向量a转换成了向量b
• 可以把矩阵理解成向量的函数

矩阵和矩阵的乘法

前提：左矩阵的列数必须与右矩阵的行数一致

矩阵与矩阵的乘法可以看作：左矩阵分别与右矩阵的每一列（相当于列向量）相乘，得到的每一个列向量作为结果矩阵的每一列

例子：

注意

对于单位矩阵E，如果满足与矩阵A相乘的条件，则：EA=AE=A

 矩阵乘法的运算规律

逆矩阵 

逆矩阵的定义

对于n阶方阵A，如果存在n阶方阵B，使AB=BA=E，E为单位矩阵，则称方阵A是可逆

的，并称方阵B为方阵A的逆矩阵，简称A的逆，记为A^-1^.

• 可逆矩阵一定是方阵，并且逆矩阵一定是其同阶方阵
• 定义中A与B互为逆阵
• 可逆矩阵也叫做非奇异矩阵 (non-singular)；不可逆矩阵叫做奇异矩阵 (singular)

逆矩阵的性质

1. 可逆矩阵的逆矩阵是唯一的，如果矩阵 A 的逆存在，那么它是唯一的。换句话说，不存在两个不同的矩阵 B 和 C，使得 A × B = B × A = I。
2. 若A可逆，则A^-1^也可逆，且(A^-1^)^-1^=A
3. 若A可逆，则A^T^也可逆，且(A^T^)^-1^=(A^-1^)^T^
4. 若A、B为同阶方阵且均可逆，则AB也可逆，且(AB)^-1^=B^-1^A^-1^

判断一个矩阵是否可逆的方法是计算其行列式。如果一个方阵的行列式不等于零，那么它是可逆的；如果行列式等于零，那么它是奇异的或不可逆的。

逆矩阵在解线性方程组和矩阵变换中具有重要作用。例如，对于线性方程组 A × X = B，其中 A 是系数矩阵，X 是未知向量，B 是常数向量，如果 A 是可逆的，那么解可以通过左乘 A 的逆矩阵得到，即 X = A^(-1) × B。