计算机组成原理之计算篇

一、章节导学

章节导学

二、进制运算的基础

1. 进制概述

1.1 进制的定义

进位制是一种记数方式，亦称进位计数法或位值计数法
有限种数字符号来表示无限的数值
使用的数字符号的数目称为这种进位制的基数或底数

1.2 常见的进制

n=10 [0-9] 称为十进制

计算机喜欢二进制，但是二进制表达太长了
使用大进制位可以解决这个问题
八进制、十六进制满足2的n次方的要求

1024=0x400=0o2000=0b1000000000

2. 二进制运算的基础

正整数N，基数为r
$N=d_{n-1}d_{n-2}...d_1d_0=d_{n-1}r^{n-1}+d_{n-2}r^{n-2}+...+d_1r+d_0$
例1
$N=1024 \quad N=1*10^3+2*10^1+4$
例2
$N=10000000000 \quad = 1*2^{10}$

2.1 （整数）二进制转换十进制：按权展开法

$N=d_{n-1}d_{n-2}...d_1d_0=d_{n-1}r^{n-1}+d_{n-2}r^{n-2}+...+d_1r+d_0$
例1
$N=(01100101)=1*2^6+1*2^5+1*2^2+1=101$
例2
$N=(11101101)=1*2^7+1*2^6+1*2^5+1*2^3+1*2^2+1=237$

2.2 （整数）十进制转换二进制：重复相除法

重复相除法

例1

image.png

2.3 （小数）二进制转换十进制：按权展开法

$N=0.d_{-1}d_{-2}...d_{-n}=d_{-1}r^{-1}+d_{-2}r^{-2}+...+d_{-n}r^{-n}$

例1
$N=0.11001=1*2^{-1}+1*2^{-2}+1*2^{-5}=0.78125=\frac{25}{32}$
例2
$N=0.01011=1*2^{-2}+1*2^{-4}+1*2^{-5}=0.34375=\frac{11}{32}$

2.4（小数）十进制转换二进制：重复相乘法

重复相乘法

例1

重复相乘法

三、有符号数与无符号数

问：怎么判断他是数字位还是符号位呢？
答：使用0表示正数，使用1表示负数

1. 原码表示法

1.1 原码表示法

使用0表示正数、1表示负数
规定符号位位于数值第一位
表达简单明了，是人类最容易理解的表示法

1.2 原码表示法的问题

0有两种表示方法：00、10
原码进行运算非常复杂，特别是两个操作数符号不同的时候

判断两个操作数绝对值大小
使用绝对值大的数减去绝对值小的数
对于符号值，以绝对值大的为准

1.3 希望的改进

希望找到不同符号操作数更加简单的运算方法
希望找到使用正数代替负数的方法
使用加法操作代替减法操作，从而消除减法

四、二进制的补码表示法

1. 补码的定义

$x=\left\{ \begin{array}{rcl} x && {2^n>x\geq0}\\ 2^{n+1}+x && {0>x\geq-2^n}\\ \end{array} \right.$

例子1： $n=4$ ， $x=13$ ，计算x的二进制原码和补码

原码： $x=0,1101$ ，补码： $x=0,1101$

例子2： $x=-13$ ，计算 $x$ 的二进制原码和补码

原码： $x=1,1101$ ，补码： $2^{+1} + = 2^{4+1} − 13 = 100000 − 1101 = 10011$
补码： $x=1,0011$

例子3：例子3： $x=-7$ ，计算 $x$ 的二进制原码和补码

原码： $x=1,0111$ ，补码： $2^{+1} + = 2^{4+1} − 7 = 100000 − 0111 = 11001$
补码： $x=1,1001$

例子4： $x=-1$ ，计算 $x$ 的二进制原码和补码

原码： $x=1,0001$ ，补码： $2^{+1} + = 2^{4+1} − 1 = 100000 − 0001 = 11111$
补码： $x=1,1111$

五、二进制的反码表示法

1. 引进补码的目的

减法运算复杂，希望找到使用正数替代负数的方法
使用加法代替减法操作，从而消除减法
在计算补码的过程中，还是使用了减法！！
反码的目的是找出原码和补码之间的规律，消除转换过程中的减法

2. 反码的定义

$x=\left\{ \begin{array}{rcl} x && {2^n>x\geq0}\\ (2^{n+1}-1)+x && {0>x\geq-2^n}\\ \end{array} \right.$

例子1： $x=-13$ ，计算 $x$ 的二进制原码和反码

原码： $x=1,1101$ ，反码： $(2^{+1}-1) + = (2^{4+1}−1)-13 = 011111− 1101 = 10010$
反码： $x=1,0010$

例子2：例子3： $x=-7$ ，计算 $x$ 的二进制原码和反码

原码： $x=1,0111$ ，反码： $(2^{+1}-1) + = (2^{4+1}-1) − 7 = 011111− 0111 = 11000$
反码： $x=1,1000$

反码

负数的反码等于原码除符号位外按位取反
负数的补码等于反码+1

例子1： $x=-7$ ，计算x的二进制原码和反码和补码

原码： $x=1,0111$ 反码： $x=1,1000$ 补码： $x=1,1001$

例子2： $x=-9$ ，计算x的二进制原码和反码和补码

原码： $x=1,1001$ 反码： $x=1,0110$ 补码： $x=1,0111$

原码，反码，补码

六、小数的补码

$x=\left\{ \begin{array}{rcl} x && {1>x\geq0}\\ 2+x && {0>x\geq-1}\\ \end{array} \right.$

例子1： $x=\frac{9}{16}$ ，计算 $x$ 的二进制原码和反码和补码

原码： $x=0,0.1001$ 反码： $x= 0,0.1001$ 补码： $x= 0,0.1001$

例子2： $x=-\frac{11}{32}$ ，计算 $x$ 的二进制原码和反码和补码

原码： $x=1,0.01011$ 反码： $x=1,1.10100$ 补码： $x=1,1.10101$

七、定点数与浮点数

1. 定点数的表示方法

小数点固定在某个位置的数称之为定点数

定点数

非纯整数或纯小数

2. 浮点数的表示方法

2.1 为什么使用浮点数

计算机处理的很大程度上不是纯小数或纯整数
数据范围很大，定点数难以表达

2.2 浮点数的表示方法

浮点数的表示格式

$123450000000 = 1.2345 × 10^{11}$
1.2345：尾数
10：基数 11：阶码

$N= S \times r^j$
S：尾数 r：基数 j：阶码

浮点数

尾数规定使用纯小数

$11.0101 = 0.110101 × 2^{10}$
$11.0101 = 0.0110101 × 2^{11}$

浮点数

浮点数的表示范围

假设阶码数值取 $m$ 位，尾数数值取 $n$ 位
$N=S \times r^j$

阶码能够表示的最大值： $2^m-1$ ，考虑符号位： $[-(2^m-1),2^m-1]$

尾数能够表示的最大值： $1-2^{-n}$
尾数能够表示的最小值： $2^{-n}$
尾数表示范围： $[2^{-n},1-2^{-n}]$ ，考虑符号位： $[-(1-2^{-n}),-(2^{-n})][2^{-n},1-2^{-n}]$

阶码表示范围： $[-(2^m-1),2^m-1]$
尾数表示范围： $[-(1-2^{-n}),-(2^{-n})][2^{-n},1-2^{-n}]$

image.png

单精度与双精度浮点数

单精度浮点数：使用4字节、32位来表达浮点数(float)
双精度浮点数：使用8字节、64位来表达浮点数(double)

2.3 浮点数的规格化

尾数规定使用纯小数
尾数最高位必须是1

正确： $11.0101 = 0.110101 × 2^{10}$
错误： $11.0101 = 0.0110101 × 2^{11}$
错误： $11.0101 = 0.00110101 × 2^{100}$
错误： $11.0101 = 1.10101 × 2^1$

例子1：设浮点数字长为16位，阶码为5位，尾数为11位，将十进制数 $\frac{13}{128}$ 表示为二进制浮点数。

原码=反码=补码： $x = 0.0001101000$
浮点数规格化： $x = 0. 1101000 * 2^{−11}$
尾数为 $1101000000$ ，尾数符为 $0$ ，阶符为 $1$ ，阶码为 $0011$

表示方法

例子2：设浮点数字长为16位，阶码为5位，尾数为11位，将十进制数−54表示为二进制浮点数。

原码： $x = 1,110110$
浮点数规格化： $x = −0. 110110 ∗ 2^{110}$
尾数为 $1101100000$ ，尾数符为 $1$ ，阶符为 $0$ ，阶码为 $0110$
尾数反码 $0010011111$ ，尾数补码 $0010100000$

表示方法

3. 定点数与浮点数的对比

当定点数与浮点数位数相同时，浮点数表示的范围更大
当浮点数尾数为规格化数时，浮点数的精度更高
浮点数运算包含阶码和尾数，浮点数的运算更为复杂
浮点数在数的表示范围、精度、溢出处理、编程等方面均优于定点数
浮点数在数的运算规则、运算速度、硬件成本方面不如定点数

八、定点数的加减法运算

数值位与符号位一同运算，并将符号位产生的进位自然丢掉
溢出判断，单符号位表示变双符号位，双符号位产生的进位丢弃，结果的双符号位不同则表示溢出

1. 整数加法

$A[补] + B[补] = [A+B][ 补] (2^{+1})$

例子1：A=-110010， B=001101，求A+B

$A[补] = 1,001110$
$B[补] = B[原] = 0,001101$
$A[补] + B[补] = (A + B)[补] =1,011011$
$A + B = −100101$

例子3：A=-10010000， B=-01010000，求A+B

$A[补] = 1,01110000$
$B[补] = 1,10110000$
$A[补] + B[补] = (A + B)[补] =1,00100000$
$A + B =-11100000$

2. 小数加法

$A[补] + B[补] = [A+B][ 补] (mod2)$

例子2：A=-0.1010010， B=0.0110100，求A+B

$A[补] = 1,1.0101110$
$B[补] = B[原] = 0,0.0110100$
$A 补 + B 补 = (A + B)[补]=1,1.1100010$
$A + B = -0.0011110$

例子4：A=-10010000， B=-11010000，求A+B

$A[补] = 1, 01110000$
$B[补] = 1, 00110000$
$A[补] + B[补] = (A + B)[补] = 0,10100000$
$A + B = 10100000$
发生了溢出

3. 判断溢出

3.1 双符号位判断法

单符号位表示变成双符号位：0=>00,1=>11
双符号位产生的进位丢弃
结果的双符号位不同则表示溢出

例子4：A=-10010000， B=-11010000，求A+B

$A[补] = 11, 01110000$
$B[补] = 11, 00110000$
$A[补] + B[补] = (A + B)[补] = 10,10100000$
双符号位不同，表示溢出

例子3：A=-10010000， B=-01010000，求A+B

$A[补] = 11,01110000$
$B[补] = 11,10110000$
$A[补] + B[补] = (A + B)[补] =11,00100000$
双符号位相同，没有溢出

4. 整数减法

$A[补] − B[补] = + (−)[补](2^{+1})$

-B[补]等于B[补]连同符号位按位取反，末位加一
B[补] = 1,0010101，(−B)[补] = 0,1101011

例子5：A=11001000， B=-00110100，求A-B

$A[补] = A[原] = 0,11001000$
$B[补] = 1,11001100$
$(−B)[补] = 0,00110100$
$A[补] − B[补] = A + (−B) [补]$
$A + (−B) 补 = 0,11111100$
$A − B = 111111100$

5. 小数减法

$A[补] − B[补] = + (−)[补](2)$

九、读点书的加减法运算

$x=S_x\times r^{j_x}$
$y=S_y\times r^{j_y}$

对阶
尾数求和
尾数规格化
舍入
溢出判断

$x=0.1101 \times 2^{01}$
$y=(-0.1010) \times 2^{11}$

1. 对阶

対阶的目的是使得两个浮点数阶码一致，使得尾数可以进行运算

浮点数尾数运算简单
浮点数位数实际小数位与阶码有关
阶码按小阶看齐大阶的原则

对阶

$x=0.001101 \times 2^{11}$
$y=(-0.1010) \times 2^{11}$

对阶

2. 尾数求和

使用补码进行运算
减法运算转化为加法运算：A - B = A + (-B)

$x[原]=00.0011 \quad x[补]=00.0011$
$y[原]=00.1010 \quad y[补]=11.0110$

$S=(x+y)[补]=11.1001$

尾数求和

3. 尾数规格化

对补码进行规格化需要判断两种情况：S>0和S<0（符号位与最高位不一致）
$S[补]=00.1xxxxxx( > 0)$
$S[补] = 11.0xxxxxx( < 0)$
如果不满足此格式，需要进行左移，同时阶码相应变化，以满足规格化

$S=(x+y)[补]=11.1001$
$S=(x+y)[补]=11.(1)0010$ （左移）

尾数规格化

$S=(x+y)[补]=11.0010$
$S=(x+y)[原]=-0.1110$
$(x+y)[原]=-0.1110 \times 2^{10}$

4. 尾数规格化(右移)

一般情况下都是左移
双符号位不一致下需要右移(定点运算的溢出情况)
右移的话则需要进行舍入操作

4.1 舍入

“0舍1入”法（二进制的四舍五入）

$S[补] = 10.10110111 \quad S[补] = 11.01011011(1)$

舍入

可能溢出

$S[补] = 01.11111111 \quad S[补] = 00.10000000(1)$

两次右规

4.2 溢出判断

定点运算双符号位不一致为溢出
浮点运算尾数双符号位不一致不算溢出（因为尾数双符号位可以进行右规）
浮点运算主要通过阶码的双符号位判断是否溢出（如果规格化后，阶码双符号位不一致，则认为是溢出）

例子： $x = 0.11010011 × 2^{1101}， = 0.11101110 × 2^{1100}$ ，假设阶码4位，尾数8位，计算x + y

对阶

尾数求和

尾数求和

判断溢出

$x+y[原]=x+y[补]=0.10100101 \times 2^{1110}$

5. 浮点数加减法运算

image.png

九、浮点数的乘除法运算

1. 浮点数乘法

浮点数乘法

2. 浮点数除法

浮点数除法

image.png

例子： $= 0.11010011 × 2^{1101}， = 0.11101110 × 2^{0001}$ ，假设阶码4位，尾数8位，计算x * y

$x \times y = (S_x \times S_y) \times r^{(j_x+j_y)}\\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad = (0.11010011 × 0.11101110) × ^{1101+0001}\\ \qquad \qquad \qquad \quad = 0.11000100(保留八位) × ^{1110}$

十、巩固习题

1.除了十进制以外，这个世界上常见的还有什么进制？

二进制、八进制、十二进制、二十进制、六十进制。

2.二进制一般使用什么方法转换成十进制？

整数：按权展开法。

3.十进制一般使用什么方法转换成二进制？

整数：重复相除法，小数：重复相乘法。\

4.计算机直接使用原码计算有什么缺点？

0有两种表示方法，减法运算复杂。

5.请计算12、124、1023、-1、-127的二进制原码。

12(0,00001100)、124(0,01111100)、1023(0,1111111111)、-1(1,00000001)、-127(1,01111111)。

6.计算机的补码解决了什么问题？

相比原码的运算过程（特别是减法），补码对于计算机而言运算更加简单。

7.请计算12、124、1023、-1、-127的补码，并将其使用32位定点表示法和32位浮点表示法(1位符号位、8位阶码、23位数值位)表示出来。

8.你是否可以使用代码实现一个通用的计算器，可以将二进制数转换为十进制数，把十进制数转换为二进制数。

9.计算机为了判断运算溢出使用了什么方法？

双符号位判断法。当双符号位不一致表示溢出。

10.什么是溢出？什么是上溢？什么是下溢？

溢出即计算机无法表示数值。上溢是指数值绝对值大于表示范围，下溢是指计算机无法提供有效精度表示数值。

11.对于64位浮点型(double)，一般都是采用最高位为符号位，次高11位为指数位，其次52位为尾数，试求出double型所能表达的最大值和最小值。

12.浮点数相比定点数，有什么优势？有什么不足的地方。

浮点数可以表示更大的数据范围，但是运算耗时更长。

13.浮点数之间做加减法运算需要几个步骤？每个步骤都是必须的吗？为什么？

浮点数加减法需要经过以下几个步骤：对阶、尾数求和、尾数规格化、舍入、溢出判断。对阶是为了使得尾数可以进行运算，阶码不一致尾数运算无效，尾数规格化、舍入是为了正确存储结果，溢出判断是为了判断运算过程是否有误，如果溢出将会发出信号进行溢出处理。

14.x=0.1101^1001, y=0.1011^110，请计算x+y的值，x-y的值。

x+y=0.1110011^{1001，x-y=0.1011101}1001。

15.x=0.1101^111, y=-0.1111^1101，请计算x+y的值，x-y的值。

x+y=-0.1110110011^{1101，x-y=0.1111001101}1101。

计算机组成原理之计算篇

一、章节导学

二、进制运算的基础

1. 进制概述

1.1 进制的定义

1.2 常见的进制

2. 二进制运算的基础

2.1 （整数）二进制转换十进制：按权展开法

2.2 （整数）十进制转换二进制：重复相除法

2.3 （小数）二进制转换十进制：按权展开法

2.4（小数）十进制转换二进制：重复相乘法

三、有符号数与无符号数

1. 原码表示法

1.1 原码表示法

1.2 原码表示法的问题

1.3 希望的改进

四、二进制的补码表示法

1. 补码的定义

五、二进制的反码表示法

1. 引进补码的目的

2. 反码的定义

六、小数的补码

七、定点数与浮点数

1. 定点数的表示方法

2. 浮点数的表示方法

2.1 为什么使用浮点数

2.2 浮点数的表示方法

浮点数的表示格式

浮点数的表示范围

单精度与双精度浮点数

2.3 浮点数的规格化

3. 定点数与浮点数的对比

八、定点数的加减法运算

1. 整数加法

2. 小数加法

3. 判断溢出

3.1 双符号位判断法

4. 整数减法

5. 小数减法

九、读点书的加减法运算

1. 对阶

2. 尾数求和

3. 尾数规格化

4. 尾数规格化(右移)

4.1 舍入

4.2 溢出判断

5. 浮点数加减法运算

九、浮点数的乘除法运算

1. 浮点数乘法

2. 浮点数除法

十、巩固习题

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