(n-1)*样本方差/σ^2 服从自由度为 n-1 的卡方分布的证明

设，，是容量为 n 的正态随机样本，样本方差，证明： ，即服从自由度为 n-1 的卡方分布。证明如下：

    在证明命题之前，我们先证明一个结论：(1). 设 n 个相互独立的标准正态随机变量经过正交变换后为，则依然是相互独立的标准正态随机变量，且。

    首先证明结论(1)的第一部分：设随机向量，是标准正态随机变量。矩阵 A 是 n 阶正交矩阵，是 A 的元素。随机向量 ，则，即是 n 个正态随机变量的线性组合，且 和,故是标准正态随机变量。

    然后证明结论(1)的第二部分：是相互独立的。协方差 ，则 协方差 ，即是两两不相关的，因为是正态随机变量，故是相互独立的。

    最后证明结论(1)的第三部分：。至此，结论(1)证明完毕。

    现在我们使用结论(1)来证明命题。设矩阵 A 是 n 阶正交矩阵，是 A 的元素，其中 ；随机向量 ，其中，即是标准正态随机变量且相互独立，则；随机向量 ，即 Y 是 Z 经过正交变换 A 后得到的随机向量，其中 ；那么：

。因为是相互独立的标准正态随机变量，故服从自由度为 n-1 的卡方分布。

    命题证毕。