影子价格 Shadow Price

写于:2024年1月3日 晚
修改于:2024年1月5日 晚,修改影子价格的表述。


影子价格:保持其他参数不变的情况下,某约束的右端项在某个微小范围内变动一单位,导致最优目标函数值的变动量。若超过一定范围,那么影子价格会发生变动。

每个约束对应一个影子价格,量纲为目标函数的”单位/约束单位”

原规划 对偶规划
max ⁡ z = ∑ j = 1 n c j x j  s.t.  { ∑ j = 1 n a i j x j ≤ b i ( i = 1 , 2 , … , m ) x j ≥ 0 ( j = 1 , 2 , … , n ) \begin{aligned}& \max \mathrm{z}=\sum_{j=1}^n c_j x_j \\& \text { s.t. }\left\{\begin{array}{l}\sum_{j=1}^n a_{i j} x_j \leq b_i(i=1,2, \ldots, m) \\x_j \geq 0(j=1,2, \ldots, n)\end{array}\right.\end{aligned} maxz=j=1ncjxj s.t. {j=1naijxjbi(i=1,2,,m)xj0(j=1,2,,n) max ⁡ w = ∑ i = 1 m b i y i  s.t.  { ∑ i = 1 m a i j y i ≥ c j ( j = 1 , 2 , … , n ) y i ≥ 0 ( i = 1 , 2 , … , m ) \begin{aligned}& \max \mathrm{w}=\sum_{i=1}^m b_i y_i\\& \text { s.t. }\left\{\begin{array}{l}\sum_{i=1}^m a_{i j} y_i \geq c_j(j=1,2, \ldots, n) \\y_i \geq 0(i=1,2, \ldots, m)\end{array}\right.\end{aligned} maxw=i=1mbiyi s.t. {i=1maijyicj(j=1,2,,n)yi0(i=1,2,,m)

资源稀缺度

y i > 0 y_i>0 yi>0 时,有 ∑ j = 1 n a i j x j = b i \sum_{j=1}^n a_{i j} x_j=b_i j=1naijxj=bi,表示资源 b i b_i bi 耗尽且稀缺,影子价格 y i y_i yi 值越大,说明资源 b i b_i bi 稀缺程度越大

y i = 0 y_i=0 yi=0 时,有 ∑ j = 1 n a i j x j ≤ b i \sum_{j=1}^n a_{i j} x_j \leq b_i j=1naijxjbi ,表示资源 b i b_i bi 未充分利用或刚用完。


边际贡献

∂ z ∗ ∂ b i = y ∗ \frac{\partial z^*}{\partial \mathrm{b}_{\mathrm{i}}}=\mathrm{y}^* biz=y ,表示资源得到最优利用的条件下, b i b_i bi 每增加一单位带来目标函数值的增量(每单位第 i \mathrm{i} i 种资源对目标函数值的边际贡献)。
当资源 b i b_i bi 市场价格小于 y i y_i yi 边际价格,那么买入资源; 否则卖出。


检验数经济意义

σ j = c j − ∑ i = 1 m a i j y i = c j − C B B − 1 P j = c j − Y ∗ P j \sigma_j=c_j-\sum_{i=1}^m a_{i j} y_i=c_j-C_B B^{-1} P_j=c_j-Y^* P_j σj=cji=1maijyi=cjCBB1Pj=cjYPj,其中 c j c_j cj 表示产品 j \mathrm{j} j 的价格, ∑ i = 1 m a i j y i \sum_{i=1}^m a_{i j} y_i i=1maijyi 表示生产产品 j \mathrm{j} j 所需的成本。

σ j > 0 \sigma_j>0 σj>0,则生产该产品有利,换入对应变量为基变量; 若 σ j ≤ 0 \sigma_j \leq 0 σj0,则不安排该产品生产,仍未非基变量。


常见设问

对偶问题最优解的经济含义/资源的影子价格的含义

  1. 资源是否充分利用及紧俏程度(互补松弛定理);
  2. 单位资源的贡献(是否在市场上购买此资源,题干需提供市场价格才能从此角度作答)/资源增加一单位,最优目标函数值的增量;
  3. 是否生产某产品(检验数经济意义,生产一单位产品的边际收益与边际成本的差值,求出最终单纯形表才从此角度作答)

考察影子价格从两方面作答:

  1. 直接写出资源的影子价格;
  2. “在生产背景下,如果扩大生产需要购买何种资源”,转化题干信息:扩大生产=目标函数值增加最多、产品生产最多。从对偶问题最优解/影子价格的经济意义–资源的紧俏程度和资源对目标函数的边际贡献。

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