正交投影矩阵与透视投影矩阵的推导

正交投影矩阵

正交投影矩阵的视锥体是一个长方体$[l,r][b,t][f,n]$，我们要把这个长方体转换到一个正方体$[-1,1][-1,1][-1,1]$中，如下图所示

第一步为平移，计算出长方体的中心点为$[(l+r)/2,(b+t)/2,(f+n)/2]$，然后将中心点移动到原点，矩阵为
M t r a n s l a t e = [ 1 0 0 − ( l + r ) / 2 0 1 0 − ( b + t ) / 2 0 0 1 − ( f + n ) / 2 0 0 0 1 ] \mathbf M_{translate} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -(l+r)/2 \\ 0 & 1 & 0 & -(b+t)/2 \\ 0 & 0 & 1 & -(f+n)/2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} Mtranslate​= ​1000​0100​0010​−(l+r)/2−(b+t)/2−(f+n)/21​ ​
第二步为缩放，例如从$[l,r]$缩放到$[-1,1]$，缩放系数为$2/(r-l)$，所以矩阵为
M s c a l e = [ 2 / ( r − l ) 0 0 0 0 2 / ( t − b ) 0 0 0 0 2 / ( n − f ) 0 0 0 0 0 ] \mathbf M_{scale} = \begin{bmatrix} 2/(r-l) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2/(t-b) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2/(n-f) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} Mscale​= ​2/(r−l)000​02/(t−b)00​002/(n−f)0​0000​ ​
综上，正交投影矩阵为${\mathbf{M}}_{ortho}={\mathbf{M}}_{scale}\ast {\mathbf{M}}_{translate}$

透视投影矩阵

透视投影矩阵的视锥体是一个四棱锥的一部分，其中近平面为$z=n$，远平面为$z=f$，我们要把这个视锥体转换到一个正方体$[-1,1][-1,1][-1,1]$中，可以先把远平面压缩，把视锥体压缩成一个长方体，然后再通过正交投影矩阵就可以变换到正方体中，如图。

视锥体压缩矩阵的求解

我们定义视锥体压缩的矩阵为${\mathbf{M}}_{persp->ortho}$，在把视锥体压缩成长方体的过程中，我们规定三个原则

1. 近平面的所有点坐标不变
2. 远平面的所有点坐标$z$值不变，都是$f$
3. 远平面的中心点坐标值不变，为$(0,0,f)$

首先，设${\mathbf{M}}_{persp->ortho}$为如下式子，先将所有元素设为未知数：
M p e r s p − > o r t h o = [ A B C D E F G H I J K L M N O P ] \mathbf M_{persp->ortho} = \begin{bmatrix} A & B & C & D \\ E & F & G & H \\ I & J & K & L \\ M & N & O & P \\ \end{bmatrix} Mpersp−>ortho​= ​AEIM​BFJN​CGKO​DHLP​ ​
对于视锥体内的任意一点$(x,y,z)$，压缩以后的$x,y$坐标应该与近平面上对应的点相同，如下图所示，根据三角形的相似关系，我们可以得到$x^{,}=nx/z,y^{,}=ny/z$。

因此对于齐次坐标表示的$(x,y,z,1)$一点，它在视锥体压缩后的坐标为$(nx/z,ny/z,unknow,1)$，这里我们新的$z^{,}$值还不知道，暂不讨论。为了便于后续的计算，压缩后的坐标为$(nx,ny,unknow,z)$。我们有下面的式子：
M p e r s p − > o r t h o ⋅ [ x y z 1 ] = [ n x n y u n k n o w n z ] \mathbf M_{persp->ortho} \cdot \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} nx\\ ny\\ unknown\\ z \end{bmatrix} Mpersp−>ortho​⋅ ​xyz1​ ​= ​nxnyunknownz​ ​
将式子展开，我们有：
$$\begin{gathered} Ax+By+Cz+D=nx \\ Ex+Fy+Gz+H=ny \\ Mx+Ny+Oz+P=z \end{gathered}$$
可知：
$$\begin{gathered} A=n,B=0,C=0,D=0 \\ E=0,F=n,G=0,H=0 \\ M=0,N=0,O=1,P=0 \end{gathered}$$
这时，我们知晓了矩阵中12个位置数的值，此时的矩阵如下，还剩$I,J,K,L$四个未知数。
M p e r s p − > o r t h o = [ n 0 0 0 0 n 0 0 I J K L 0 0 1 0 ] \mathbf M_{persp->ortho} = \begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0\\ 0 & n & 0 & 0\\ I & J & K & L\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} Mpersp−>ortho​= ​n0I0​0nJ0​00K1​00L0​ ​

接下来考虑三原则中第一个原则，近平面的所有点坐标不变。对于近平面上的一点$(x,y,n,1)$，有下式：
[ n 0 0 0 0 n 0 0 I J K L 0 0 1 0 ] ⋅ [ x y n 1 ] = [ n x n y n ∗ n n ] \begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0\\ 0 & n & 0 & 0\\ I & J & K & L\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x\\ y\\ n\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} nx\\ ny\\ n*n\\ n \end{bmatrix} ​n0I0​0nJ0​00K1​00L0​ ​⋅ ​xyn1​ ​= ​nxnyn∗nn​ ​
其中后式是为了配平方程，我们将齐次坐标$(x,y,z,1)$等价变为$(nx,ny,n\ast n,n)$。

根据矩阵的第三行展开计算，可以得到
$$Ix+Jy+Kn+L=n\ast n$$
于是有

$$\begin{array}{r}I=0,J=0\\ Kn+L=n\ast n\end{array}$$

此时矩阵如下，还剩$K,L$两个未知数。
M p e r s p − > o r t h o = [ n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 K L 0 0 1 0 ] \mathbf M_{persp->ortho} = \begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0\\ 0 & n & 0 & 0\\ 0 & 0 & K & L\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} Mpersp−>ortho​= ​n000​0n00​00K1​00L0​ ​

最后考虑三原则中第三个原则，远平面的中心点坐标值不变，为$(0,0,f,1)$。我们有下式：
[ n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 K L 0 0 1 0 ] ⋅ [ 0 0 f 1 ] = [ 0 0 f ∗ f f ] \begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0\\ 0 & n & 0 & 0\\ 0 & 0 & K & L\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ f\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ f*f\\ f \end{bmatrix} ​n000​0n00​00K1​00L0​ ​⋅ ​00f1​ ​= ​00f∗ff​ ​
后式同样是为了配平方程，我们将齐次坐标$(0,0,f,1)$等价变为$(0,0,f\ast f,f)$。

根据矩阵的第三行展开计算，可以得到
$$\begin{array}{r}Kf+L=f\ast f\end{array}$$
联立$(1)(2)$两式，我们最终能够解得
$$\begin{gathered} K=n+f \\ L=-nf \end{gathered}$$
此时，我们终于求得了${\mathbf{M}}_{persp->ortho}$矩阵
M p e r s p − > o r t h o = [ n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 n + f − n f 0 0 1 0 ] \mathbf M_{persp->ortho} = \begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0\\ 0 & n & 0 & 0\\ 0 & 0 & n+f & -nf\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} Mpersp−>ortho​= ​n000​0n00​00n+f1​00−nf0​ ​

透视投影矩阵的求解

乘上正交投影矩阵${\mathbf{M}}_{ortho}$，我们便可以得到透视投影矩阵${\mathbf{M}}_{persp}$
M p e r s p = M o r t h o ⋅ M p e r s p − > o r t h o = [ 2 / ( r − l ) 0 0 0 0 2 / ( t − b ) 0 0 0 0 2 / ( n − f ) 0 0 0 0 0 ] ⋅ [ 1 0 0 − ( l + r ) / 2 0 1 0 − ( b + t ) / 2 0 0 1 − ( f + n ) / 2 0 0 0 1 ] ⋅ [ n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 n + f − n f 0 0 1 0 ] \mathbf M_{persp} = \mathbf M_{ortho} \cdot \mathbf M_{persp->ortho} =\\ \begin{bmatrix} 2/(r-l) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2/(t-b) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2/(n-f) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -(l+r)/2 \\ 0 & 1 & 0 & -(b+t)/2 \\ 0 & 0 & 1 & -(f+n)/2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0\\ 0 & n & 0 & 0\\ 0 & 0 & n+f & -nf\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} Mpersp​=Mortho​⋅Mpersp−>ortho​= ​2/(r−l)000​02/(t−b)00​002/(n−f)0​0000​ ​⋅ ​1000​0100​0010​−(l+r)/2−(b+t)/2−(f+n)/21​ ​⋅ ​n000​0n00​00n+f1​00−nf0​ ​

透视矩阵一般是由$fov,aspect,far,near$四个参数定义的，我们尝试用这四个参数来表示上式中的$n,f,t,b,r,l$六个参数。其中$fov$表示视场角，$aspect$表示宽高比，$far,near$分别表示远平面和近平面。

易知，$n=near,f=far$。

根据上图的三角关系，我们有
$$\begin{gathered} t=near\ast tan(\frac{fov}{2}),b=-near\ast tan(\frac{fov}{2}) \\ r=aspect\ast near\ast tan(\frac{fov}{2}),l=-aspect\ast near\ast tan(\frac{fov}{2}) \end{gathered}$$
最终，我们得到的透视投影矩阵为
M p e r s p = [ c o t ( f o v ) 2 ∗ a s p e c t ∗ n e a r 0 0 0 0 c o t ( f o v ) 2 0 0 0 0 n e a r + f a r n e a r − f a r − 2 ∗ n e a r ∗ f a r n e a r − f a r 0 0 1 0 ] \mathbf M_{persp} = \begin{bmatrix} \frac{cot(fov)}{2*aspect*near} & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{cot(fov)}{2} & 0 & 0\\ 0 & 0 & \frac{near+far}{near-far} & -\frac{2*near*far}{near-far}\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} Mpersp​= ​2∗aspect∗nearcot(fov)​000​02cot(fov)​00​00near−farnear+far​1​00−near−far2∗near∗far​0​ ​

参考

https://zhuanlan.zhihu.com/p/122411512